2018年センター数学１Ａ第５問ここまでの記事→①ＢＣの長さ、②[ウ]まで、③[ケ]まで
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■ 問題
2018年センター試験数１Ａより
第５問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝２，ＡＣ＝１，∠Ａ＝９０°とする。
∠Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとすると、ＢＤ＝([ア]√[イ])／[ウ]である。
点Ａを通り点Ｄで辺ＢＣに接する円と辺ＡＢとの交点でＡと異なるものをＥとすると、ＡＢ・ＢＥ＝[エオ]／[カ]であるから、ＢＥ＝[キク]／[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}～{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
ＢＥ／ＢＤ[コ]ＡＢ／ＢＣであるから、直線ＡＣと直線ＤＥの交点は辺ＡＣの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} ＜ {1} ＝ {2} ＞ {3} Ａ {4} Ｃ
その交点をＦとすると、ＣＦ／ＡＦ＝[シ]／[ス]であるから、ＣＦ＝[セ]／[ソ]である。したがって、ＢＦの長さが求まり、ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}～{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Ｄは△ＡＢＦの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
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2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
さらに、ＥＤの延長とＡＣの延長の交点をＦとして、ＣＦ／ＡＦを聞いています。
だいたいこのような形になります。
参考図
最終的には、このＢとＦを結び、△ＡＢＦを考えます。
このような形のときは・・・
メネラウスの定理が使えますね！
頂点からそれぞれの対辺に線が引いてあるようなときは、メネラウスの定理を使うことができます。
三角形を１周するように辺を使ったときの比の積が１になる。という定理です。
今回は、ＣＦ／ＡＦを表したいので、
(ＣＦ／ＡＦ)・(ＡＥ／ＥＢ)・(ＢＤ／ＤＣ)＝１
とします。
ここまでにわかっている辺の長さを代入して、
(ＣＦ／ＡＦ)・{(８／９)・(１０／９)}・{(２√５／３)・(√５／３)}
＝(ＣＦ／ＡＦ)・(４／５)・(２／１) ←それぞれの分数を約分
＝(ＣＦ／ＡＦ)・(８／５)＝１ ←イコール１とした
ＣＦ／ＡＦ＝５／８ ←両辺を８／５で割った
ＣはＡＦ上の点なので、ＣはＡＦを３：５に分けることがわかります。
問題文にあるように、ＡＣ＝１なので、
ＡＣ：ＣＦ＝３：５
１：ＣＦ＝３：５
３ＣＦ＝５
ＣＦ＝５／３
よって、[シ]＝５，[ス]＝８，[セ]＝５，[ソ]＝３
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