2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ、②[ウ]まで、③[ケ]まで
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■ 問題
2018年センター試験数1Aより
第5問
△ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。
∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。
点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} < {1} = {2} > {3} A {4} C
その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Dは△ABFの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
さらに、EDの延長とACの延長の交点をFとして、CF/AFを聞いています。
だいたいこのような形になります。
参考図
最終的には、このBとFを結び、△ABFを考えます。
このような形のときは・・・
メネラウスの定理が使えますね!
頂点からそれぞれの対辺に線が引いてあるようなときは、メネラウスの定理を使うことができます。
三角形を1周するように辺を使ったときの比の積が1になる。という定理です。
今回は、CF/AFを表したいので、
(CF/AF)・(AE/EB)・(BD/DC)=1
とします。
ここまでにわかっている辺の長さを代入して、
(CF/AF)・{(8/9)・(10/9)}・{(2√5/3)・(√5/3)}
=(CF/AF)・(4/5)・(2/1) ←それぞれの分数を約分
=(CF/AF)・(8/5)=1 ←イコール1とした
CF/AF=5/8 ←両辺を8/5で割った
CはAF上の点なので、CはAFを3:5に分けることがわかります。
問題文にあるように、AC=1なので、
AC:CF=3:5
1:CF=3:5
3CF=5
CF=5/3
よって、[シ]=5,[ス]=8,[セ]=5,[ソ]=3
次の記事→⑤[タ]まで
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