2018年センター数学1A第5問 ⑤[タ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第5問の[タ]までを解説します。


2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ②[ウ]まで③[ケ]まで④[ソ]まで






★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。

 ∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。

 点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。

 次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。

 BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。

{0} <  {1} =  {2} >  {3} A  {4} C

 その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。

 次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。

 点Dは△ABFの[タ]。

{0} 外心である  {1} 内心である  {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

続いて

「したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。」

とあります。
そう書いてあるので、そうなるのは間違いありません。

この「CF/AC=BF/AB」から何がわかるでしょうか?

それぞれの辺がどこを示しているかをよく確認してみると・・・

CFとACはAFを2つに分けたもので、BFとABは△ABFの2辺です。

頂点をBと見てみると・・・

頂点から下ろした直線が底辺を2つに分けた辺と、頂点を挟む2辺の関係になっています。
これらの分数の値が等しいということはつまり、比が等しいので、②[ウ]まででも使った

★ 頂角の二等分線は、底辺を左右の辺の長さと同じ比に分ける

という性質により、「BCは∠Bを二等分している」ことがわかります。

もともとADは∠Aの二等分線で、BCも∠Bの二等分線です。
ということは、Dは二等分線同士の交点だから、△ABFの内心ですね!

よって、[タ]=1


次の記事→⑥誘導の内容の確認

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