2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ、②[ウ]まで、③[ケ]まで、④[ソ]まで
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■ 問題
2018年センター試験数1Aより
第5問
△ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。
∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。
点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} < {1} = {2} > {3} A {4} C
その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Dは△ABFの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
続いて
「したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。」
とあります。
そう書いてあるので、そうなるのは間違いありません。
この「CF/AC=BF/AB」から何がわかるでしょうか?
それぞれの辺がどこを示しているかをよく確認してみると・・・
CFとACはAFを2つに分けたもので、BFとABは△ABFの2辺です。
頂点をBと見てみると・・・
頂点から下ろした直線が底辺を2つに分けた辺と、頂点を挟む2辺の関係になっています。
これらの分数の値が等しいということはつまり、比が等しいので、②[ウ]まででも使った
★ 頂角の二等分線は、底辺を左右の辺の長さと同じ比に分ける
という性質により、「BCは∠Bを二等分している」ことがわかります。
もともとADは∠Aの二等分線で、BCも∠Bの二等分線です。
ということは、Dは二等分線同士の交点だから、△ABFの内心ですね!
よって、[タ]=1
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