2018年センター数学１Ａ第５問ここまでの記事→①ＢＣの長さ、②[ウ]まで、③[ケ]まで、④[ソ]まで
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■ 問題
2018年センター試験数１Ａより
第５問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝２，ＡＣ＝１，∠Ａ＝９０°とする。
∠Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとすると、ＢＤ＝([ア]√[イ])／[ウ]である。
点Ａを通り点Ｄで辺ＢＣに接する円と辺ＡＢとの交点でＡと異なるものをＥとすると、ＡＢ・ＢＥ＝[エオ]／[カ]であるから、ＢＥ＝[キク]／[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}～{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
ＢＥ／ＢＤ[コ]ＡＢ／ＢＣであるから、直線ＡＣと直線ＤＥの交点は辺ＡＣの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} ＜ {1} ＝ {2} ＞ {3} Ａ {4} Ｃ
その交点をＦとすると、ＣＦ／ＡＦ＝[シ]／[ス]であるから、ＣＦ＝[セ]／[ソ]である。したがって、ＢＦの長さが求まり、ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}～{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Ｄは△ＡＢＦの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
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2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
続いて
「したがって、ＢＦの長さが求まり、ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢであることがわかる。」
とあります。
そう書いてあるので、そうなるのは間違いありません。
この「ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢ」から何がわかるでしょうか？
それぞれの辺がどこを示しているかをよく確認してみると・・・
ＣＦとＡＣはＡＦを２つに分けたもので、ＢＦとＡＢは△ＡＢＦの２辺です。
頂点をＢと見てみると・・・
頂点から下ろした直線が底辺を２つに分けた辺と、頂点を挟む２辺の関係になっています。
これらの分数の値が等しいということはつまり、比が等しいので、②[ウ]まででも使った
★ 頂角の二等分線は、底辺を左右の辺の長さと同じ比に分ける
という性質により、「ＢＣは∠Ｂを二等分している」ことがわかります。
もともとＡＤは∠Ａの二等分線で、ＢＣも∠Ｂの二等分線です。
ということは、Ｄは二等分線同士の交点だから、△ＡＢＦの内心ですね！
よって、[タ]＝１
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