2018年センター数学１Ａ第５問ここまでの記事→①ＢＣの長さ、②[ウ]まで、③[ケ]まで、④[ソ]まで、⑤[タ]まで
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■ 問題
2018年センター試験数１Ａより
第５問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝２，ＡＣ＝１，∠Ａ＝９０°とする。
∠Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとすると、ＢＤ＝([ア]√[イ])／[ウ]である。
点Ａを通り点Ｄで辺ＢＣに接する円と辺ＡＢとの交点でＡと異なるものをＥとすると、ＡＢ・ＢＥ＝[エオ]／[カ]であるから、ＢＥ＝[キク]／[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}～{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
ＢＥ／ＢＤ[コ]ＡＢ／ＢＣであるから、直線ＡＣと直線ＤＥの交点は辺ＡＣの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} ＜ {1} ＝ {2} ＞ {3} Ａ {4} Ｃ
その交点をＦとすると、ＣＦ／ＡＦ＝[シ]／[ス]であるから、ＣＦ＝[セ]／[ソ]である。したがって、ＢＦの長さが求まり、ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}～{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Ｄは△ＡＢＦの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
■ おすすめ問題集
2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
実際のセンター試験のときは時間もないので、
「したがって、ＢＦの長さが求まり、ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢであることがわかる。」
のように書いてあれば、特に検証せずにそれを使って解けばＯＫですが、普段の勉強では、本当にそうなのかちゃんと調べるようにした方が良いです。それ自体が練習になりますし、問題の条件が異なれば、その「ＢＦの長さ」「ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢ」を問われるかも知れませんよね？
だから、「単に解いて終わり」ではなく、今回の問題では直接問われていなくても、出せるものは出してみる。というところまでやるようにしておくのがオススメです。
ではＢＦを出してみましょう！
ＢＦは△ＡＢＦの辺で、∠Ａは直角であることがわかっているので、三平方の定理が成り立ちます。つまり、
ＢＦ^2＝ＡＢ^2＋ＡＦ^2
＝２^2＋(８／３)^2
＝４＋６４／９
＝(３６＋６４)／９
＝１００／９
ＢＦ＝１０／３
ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢであるかどうかを調べたいので、左辺と右辺をそれぞれ計算してみます。
(左辺)＝ＣＦ／ＡＣ＝(５／３)／１＝５／３
(右辺)＝ＢＦ／ＡＢ＝(１０／３)／２＝５／３
よって、ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢですね！
このように確認できれば、ここまで求めたものが間違っていないこともわかるので、時間に余裕があれば、実際のセンター試験でもやってみると理想的です。
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