2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ、②[ウ]まで、③[ケ]まで、④[ソ]まで、⑤[タ]まで
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■ 問題
2018年センター試験数1Aより
第5問
△ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。
∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。
点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} < {1} = {2} > {3} A {4} C
その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Dは△ABFの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
■ おすすめ問題集
2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
実際のセンター試験のときは時間もないので、
「したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。」
のように書いてあれば、特に検証せずにそれを使って解けばOKですが、普段の勉強では、本当にそうなのかちゃんと調べるようにした方が良いです。それ自体が練習になりますし、問題の条件が異なれば、その「BFの長さ」「CF/AC=BF/AB」を問われるかも知れませんよね?
だから、「単に解いて終わり」ではなく、今回の問題では直接問われていなくても、出せるものは出してみる。というところまでやるようにしておくのがオススメです。
ではBFを出してみましょう!
BFは△ABFの辺で、∠Aは直角であることがわかっているので、三平方の定理が成り立ちます。つまり、
BF^2=AB^2+AF^2
=2^2+(8/3)^2
=4+64/9
=(36+64)/9
=100/9
BF=10/3
CF/AC=BF/ABであるかどうかを調べたいので、左辺と右辺をそれぞれ計算してみます。
(左辺)=CF/AC=(5/3)/1=5/3
(右辺)=BF/AB=(10/3)/2=5/3
よって、CF/AC=BF/ABですね!
このように確認できれば、ここまで求めたものが間違っていないこともわかるので、時間に余裕があれば、実際のセンター試験でもやってみると理想的です。
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