2018年センター数学2B第4問 ⑨[テ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第4問の[テ]までを解説します。


2018年センター数学2B第4問ここまでの記事→①ベクトルの計算方法②図形の確認③[ア]まで④[イ]まで⑤[カ]まで⑥[ケ]まで⑦[シ]まで⑧[タチ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年大学入試センター試験数学2Bより

第4問

 aを0<a<1を満たす定数とする。三角形ABCを考え、辺ABを1:3に内分する点をD,辺BCをa:(1-a)に内分する点をE,直線AEと直線CDの交点をFとする。→FA=→p,→FB=→q,→FC=→rとおく。
   →
(1) AB=[ア]であり
    →    →     → →  →
   |AB|^2=|p|^2-[イ]p・q+|q|^2 ……{1}

である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。
  → →    → →    → →     → →
{0} p+q  {1} p-q  {2} q-p  {3} -p-q

   →  → →
(2) FDをpとqを用いて表すと
    →        →       →
   FD=([ウ]/[エ])p+([オ]/[カ])q ……{2}

である。

           →   →  →   →
(3) s,tをそれぞれFD=sr,FE=tpとなる実数とする。sとtをaを用いて表そう。
  →   →
 FD=srであるから、{2}により
   →    →    →
   q=[キク]p+[ケ]sr ……{3}
        →   →
である。また、FE=tpであるから
   →          →           →
   q={t/([コ]-[サ])}p-{[シ]/([コ]-[サ])}r ……{4}

である。{3}と{4}により

 s=[スセ]/[ソ]([コ]-[サ]),t=[タチ]([コ]-[サ])

である。

   →   →      →       → →
(4) |AB|=|BE|とする。|p|=1のとき、pとqの内積をaを用いて表そう。

 {1}により
    →       → →  →
   |AB|^2=1-[イ]p・q+|q|^2

である。また
    →
   |BE|^2=[ツ]([コ]-[サ])^2 → →  →
         +[テ]([コ]-[サ])p・q+|q|^2

である。したがって
   → →
   p・q=([トナ]-[ニ])/[ヌ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

いよいよ最後の設問(4)です。

   →   →      →       → →
(4) |AB|=|BE|とする。|p|=1のとき、pとqの内積をaを用いて表そう。

このような設定となっています。

丁寧な誘導があるので、ひとつひとつ確認していきましょう!

 {1}により
    →       → →  →
   |AB|^2=1-[イ]p・q+|q|^2

である。
       →    →    → →  →
④[イ]までで、|AB|^2=|p|^2-2p・q+|q|^2を求めましたね。

    →
次に、|BE|^2の式があります。
→BEはまだ表していなかったので、表してみましょう!
→   →
BE=aBC
     → →
  =a(r-q)

もっとも簡単な表し方はコレですが、問題では→p,→qで表さないといけないようです。どうすれば良いでしょうか?


今まで作った式のどれかを使って、→rを消去すればいいですね!たとえば・・・
→   →   →
q=-3p+4srをrについて解いてみると、
-4sr=-3p-q
   →      →      →
   r=(3/4s)p+(1/4s)q

⑧[タチ]までよりs=-a/4(1-a)なので、
→              →             →
r=(3/4){4(1-a)/(-a)}p+(1/4){4(1-a)/(-a)}q
 ={3・4(1-a)/(-4a)}p+{4(1-a)/(-4a)}q
          →        →
 =-{3(1-a)/a}p-{(1-a)/a}q
        → →
これをBE=a(r-q)に代入すると、
→            →       → →
BE=a[-{3(1-a)/a}p-{(1-a)/a}q-q]
  =-3(1-a)p-(1-a)q-aq
         → →
  =-3(1-a)p-q

ではこれを、問題の指示の通りに2乗してみましよう!
 →          → →
|BE|^2={-3(1-a)p-q}^2
    ={3(1-a)p+q}^2
    =9(1-a)^2・|p|^2+2・3(1-a)p・q+|q|^2   ←|→p|=1
                 → →  →
    =9(1-a)^2+6(1-a)p・q+|q|^2

よって、[ツ]=9,[テ]=6


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