2018年センター数学2B第4問 ⑩最後まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第4問の最後までを解説します。


2018年センター数学2B第4問ここまでの記事→①ベクトルの計算方法②図形の確認③[ア]まで④[イ]まで⑤[カ]まで⑥[ケ]まで⑦[シ]まで⑧[タチ]まで⑨[テ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年大学入試センター試験数学2Bより

第4問

 aを0<a<1を満たす定数とする。三角形ABCを考え、辺ABを1:3に内分する点をD,辺BCをa:(1-a)に内分する点をE,直線AEと直線CDの交点をFとする。→FA=→p,→FB=→q,→FC=→rとおく。
   →
(1) AB=[ア]であり
    →    →     → →  →
   |AB|^2=|p|^2-[イ]p・q+|q|^2 ……{1}

である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。
  → →    → →    → →     → →
{0} p+q  {1} p-q  {2} q-p  {3} -p-q

   →  → →
(2) FDをpとqを用いて表すと
    →        →       →
   FD=([ウ]/[エ])p+([オ]/[カ])q ……{2}

である。

           →   →  →   →
(3) s,tをそれぞれFD=sr,FE=tpとなる実数とする。sとtをaを用いて表そう。
  →   →
 FD=srであるから、{2}により
   →    →    →
   q=[キク]p+[ケ]sr ……{3}
        →   →
である。また、FE=tpであるから
   →          →           →
   q={t/([コ]-[サ])}p-{[シ]/([コ]-[サ])}r ……{4}

である。{3}と{4}により

 s=[スセ]/[ソ]([コ]-[サ]),t=[タチ]([コ]-[サ])

である。

   →   →      →       → →
(4) |AB|=|BE|とする。|p|=1のとき、pとqの内積をaを用いて表そう。

 {1}により
    →       → →  →
   |AB|^2=1-[イ]p・q+|q|^2

である。また
    →
   |BE|^2=[ツ]([コ]-[サ])^2 → →  →
         +[テ]([コ]-[サ])p・q+|q|^2

である。したがって
   → →
   p・q=([トナ]-[ニ])/[ヌ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

     →   →
あとは、|AB|=|BE|より、「等しいからイコールで結ぶ」と考えればOK!
   → →  →               → →  →
1-2p・q+|q|^2=9(1-a)^2+6(1-a)p・q+|q|^2

このような式ができます。
少しばかりややこしい式ですが、まずは移項してまとめてみましょう!
    → →             → →
 1-2p・q-9(1-a)^2-6(1-a)p・q=0 ←|q|^2は相殺した
1-9(1-2a+a^2)+(-2-6+6a)p・q=0 ←2乗の展開など
   1-9+18a-9a^2+(6a-8)p・q=0 ←カッコを外した
    -8+18a-9a^2+(6a-8)p・q=0

これをp・qについて解けば、求める形になりそうですね!

(6a-8)p・q=9a^2-18a+8
(6a-8)p・q=(3a-2)(3a-4)    ←たすきがけで因数分解
     p・q={(3a-2)(3a-4)}/(6a-8)
        ={(3a-2)(3a-4)}/{2(3a-4)}
        =(3a-2)/2       ←約分した

よって、[トナ]=3a,[ニ]=2,[ヌ]=2


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