本日配信のメルマガ。2014年センター数学2B第1問 図形と方程式

本日配信のメルマガでは、2014年大学入試センター試験数学2B第1問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題

2014年大学入試センター試験数学2Bより

第1問

[1] Oを原点とする座標平面において、点P(p,q)を中心とする円Cが、
方程式y=(4/3)xで表される直線lに接しているとする。

(1) 円Cの半径rを求めよう。
 点Pを通り直線lに垂直な直線の方程式は

   y=-([ア]/[イ])(x-p)+q

なので、Pからlに引いた垂線とlの交点Qの座標は

   ((3/25)([ウ]p+[エ]q),(4/25)([ウ]p+[エ]q))

となる。
 求めるCの半径rは、Pとlの距離PQに等しいので、

   r=(1/5)|[オ]p-[カ]q| ・・・{1}

である。

(2) 円Cが、x軸に接し、点R(2,2)を通る場合を考える。このとき、
p>0,q>0である。Cの方程式を求めよう。

 Cはx軸に接するので、Cの半径rはqに等しい。したがって、{1}により、
p=[キ]qである。

 Cは点Rを通るので、求めるCの方程式は

   (x-[ク])^2+(y-[ケ])^2=[コ] ・・・{2}
または
   (x-[サ])^2+(y-[シ])^2=[ス] ・・・{3}

であることがわかる。ただし[コ]<[ス]とする。

(3) 方程式{2}の表す円の中心をS,方程式{3}の表す円の中心をTとおくと、
直線STは原点Oを通り、点Oは線分STを[セ]する。[セ]に当てはまるものを、
次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。

{0} 1:1に内分  {1} 1:2に内分  {2} 2:1に内分
{3} 1:1に外分  {4} 1:2に外分  {5} 2:1に外分


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 y-y1=m(x-x1)も使えるようにしよう!
 ◆2 円の標準形と一般形
 ◆3 グラフは決まっているものを先に描こう
 ◆4 垂直条件はmm’=-1

(以下略)

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■ 解説

◆1~2は省略します。


 ◆3 グラフは決まっているものを先に描こう

さて、前置きはこのくらいにして、今回の問題に取りかかってみましょう!

まずは問題の条件を確認します。
円Cと直線lについて説明がありますね。

円Cは点P(p,q)を中心としている。
直線lは方程式y=(4/3)xで表され、円Cに接している。

ことがわかります。
ここからは、グラフを描きながら読んでいってください。

まず、直線lは式が決まっているので、それらしく見えるように描きます。
点Pはまだ場所がわからないので、適当なところに取ります。
半径もまだわからないですが、直線lが接線になることは分かっているので、
先ほど描いた直線と接するように円を描きます。

描きましたか?


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 ◆4 垂直条件はmm'=-1

では、設問を確認しましょう!

「点Pを通り直線lに垂直な直線の方程式」を聞いていますね。

点P(p,q)は、今のところそのまま使うようなので、「直線lに垂直」という
部分に注目します。

直線の垂直条件は何でしたか?

★ mm'=-1

ですね。
つまり・・・


(以下略)


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