本日配信のメルマガ。2014年センター数学2B第1問[2] 指数・対数

本日配信のメルマガでは、2014年大学入試センター試験数学2B第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題

2014年大学入試センター試験数学2Bより

第1問

[2] 自然数m,nに対して、不等式

  log[2]m^3+log[3]n^2≦3 ・・・{4}を考える。

 m=2,n=1のとき、log[2]m^3+log[3]n^2=[ソ]であり、
このm,nの値の組は{4}を満たす。

 m=4,n=3のとき、log[2]m^3+log[3]n^2=[タ]であり、
このm,nの値の組は{4}を満たさない。

 不等式{4}を満たす自然数m,nの組の個数を調べよう。{4}は

  log[2]m+([チ]/[ツ])log[3]n≦[テ] ・・・{5}

と変形できる。

 nが自然数のとき、log[3]nのとり得る最小の値は[ト]であるから、
{5}により、log[2]m≦[テ]でなければならない。log[2]m≦[テ]により、
m=[ナ]またはm=[ニ]でなければならない。ただし、[ナ]<[ニ]とする。

 m=[ナ]の場合は、{5}は、log[3]n≦[ヌ]/[ネ]となり、n^2≦[ノハ]と
変形できる。よって、m=[ナ]のとき、{5}を満たす自然数nのとり得る値の
範囲はn≦[ヒ]である。したがって、m=[ナ]の場合、{4}を満たす自然数
m,nの組の個数は[ヒ]である。

 同様にして、m=[ニ]の場合、{4}を満たす自然数m,nの組の個数は[フ]
である。

 以上のことから、{4}を満たす自然数m,nの組の個数は[ヘ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、底がa真数がbの対数はlog[a]b
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 指数と対数は表裏一体
 ◆2 対数の計算法則
 ◆3 素直に代入して計算

(以下略)

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■ 解説

◆1~2は省略します。


 ◆3 素直に代入して計算

それでは、今回の問題に取りかかってみましょう!

まずは自然数m,nに関する対数不等式があります。

  log[2]m^3+log[3]n^2≦3 ・・・{4}を考える。

こんな式について考えていくようです。
対数初心者にはものすごく難しく見えると思いますが、センター試験は、やはり
誘導に従って一つ一つ進めていけば、案外あっさりできてしまうことがあります。
次の設定をしっかり読み取って、そのままやってみましょう!

次に「m=2,n=1のとき」とあるので、この{4}の式にその通り代入します。

 log[2]2^3+log[3]1^2
=3log[2]2+log[3]1    ←log[a]b^c=c・log[a]b
=3+0              ←log[2]2=1,log[3]1=0
=3

よって、[ソ]=3
3以下なので、{4}の式を満たす。

そして「m=4,n=3のとき」とあるので・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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