【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2014年大学入試センター試験数学２Ｂより
第１問
[2] 自然数ｍ，ｎに対して、不等式
ｌｏｇ[2]ｍ^3＋ｌｏｇ[3]ｎ^2≦３ ・・・{4}を考える。
ｍ＝２，ｎ＝１のとき、ｌｏｇ[2]ｍ^3＋ｌｏｇ[3]ｎ^2＝[ソ]であり、
このｍ，ｎの値の組は{4}を満たす。
ｍ＝４，ｎ＝３のとき、ｌｏｇ[2]ｍ^3＋ｌｏｇ[3]ｎ^2＝[タ]であり、
このｍ，ｎの値の組は{4}を満たさない。
不等式{4}を満たす自然数ｍ，ｎの組の個数を調べよう。{4}は
ｌｏｇ[2]ｍ＋([チ]／[ツ])ｌｏｇ[3]ｎ≦[テ] ・・・{5}
と変形できる。
ｎが自然数のとき、ｌｏｇ[3]ｎのとり得る最小の値は[ト]であるから、
{5}により、ｌｏｇ[2]ｍ≦[テ]でなければならない。ｌｏｇ[2]ｍ≦[テ]により、
ｍ＝[ナ]またはｍ＝[ニ]でなければならない。ただし、[ナ]＜[ニ]とする。
ｍ＝[ナ]の場合は、{5}は、ｌｏｇ[3]ｎ≦[ヌ]／[ネ]となり、ｎ^2≦[ノハ]と
変形できる。よって、ｍ＝[ナ]のとき、{5}を満たす自然数ｎのとり得る値の
範囲はｎ≦[ヒ]である。したがって、ｍ＝[ナ]の場合、{4}を満たす自然数
ｍ，ｎの組の個数は[ヒ]である。
同様にして、ｍ＝[ニ]の場合、{4}を満たす自然数ｍ，ｎの組の個数は[フ]
である。
以上のことから、{4}を満たす自然数ｍ，ｎの組の個数は[ヘ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、底がａ真数がｂの対数はｌｏｇ[a]ｂ
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 指数と対数は表裏一体
◆２ 対数の計算法則
◆３ 素直に代入して計算
(以下略)
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■ 解説
◆１～２は省略します。
◆３ 素直に代入して計算
それでは、今回の問題に取りかかってみましょう！
まずは自然数ｍ，ｎに関する対数不等式があります。
ｌｏｇ[2]ｍ^3＋ｌｏｇ[3]ｎ^2≦３ ・・・{4}を考える。
こんな式について考えていくようです。
対数初心者にはものすごく難しく見えると思いますが、センター試験は、やはり
誘導に従って一つ一つ進めていけば、案外あっさりできてしまうことがあります。
次の設定をしっかり読み取って、そのままやってみましょう！
次に「ｍ＝２，ｎ＝１のとき」とあるので、この{4}の式にその通り代入します。
ｌｏｇ[2]２^3＋ｌｏｇ[3]１^2
＝３ｌｏｇ[2]２＋ｌｏｇ[3]１ ←ｌｏｇ[a]ｂ^c＝ｃ・ｌｏｇ[a]ｂ
＝３＋０ ←ｌｏｇ[2]２＝１，ｌｏｇ[3]１＝０
＝３
よって、[ソ]＝３
３以下なので、{4}の式を満たす。
そして「ｍ＝４，ｎ＝３のとき」とあるので・・・
(以下略)
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