本日配信のメルマガ。2013年センター数学1A第2問 2次関数

本日配信のメルマガでは、2013年大学入試センター試験数学1A第2問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題

2013年センター試験数1Aより

第2問

 座標平面上にある点Pは、点A(-8,8)から出発して、直線y=-x上を
x座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面
上にある点Qは、点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線
y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発
してからt秒後の2点P,Qを考える。点PがOに到達するのはt=[ア]のとき
である。以下0<t<[ア]で考える。

(1) 点Pとx座標が等しいx軸上の点をP',点Qとx座標が等しいx軸上の点
 をQ'とおく。△OPP'と△OQQ'の面積の和Sをtで表せば

  S=[イ]t^2-[ウエ]t+[オカ]

 となる。これより0<t<[ア]においては、t=[キ]/[ク]でSは最小値
 [ケコサ]/[シ]をとる。

  次に、aを0<a<[ア]-1を満たす定数とする。以下、a≦t≦a+1
 におけるSの最大・最小について考える。

 (i) Sがt=[キ]/[ク]で最小となるようなaの値の範囲は

  [ス]/[セ]≦a≦[ソ]/[タ]である。

 (ii) Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は0<a≦[チ]/[ツテ]
  である。

(2) 3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行
 移動したものになるのは、t=[ト]/[ナ]のときであり、x軸方向に
 [ニヌ]/[ネ]、y軸方向に[ノハヒ]/[フ]だけ平行移動すればよい。
 

※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 まずは落ち着いて文章を読もう
 ◆2 -8から0まで2ずつ変化するので・・・

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 まずは落ち着いて文章を読もう

旧課程では毎年第2問は、2次関数の問題でした。
2013年も2次関数には違いありませんが、見た目上は珍しい、文章問題の形に
なっていました。

過去問にしっかり取り組んできた準備万端な人ほど、問題を開いた途端に、
見慣れない問題に動揺したかも知れません。

それは無理もないことですが、気を取り直して、しっかり条件を把握すれば、
実はたいしたことがないかも知れません。
これからも様々な変更が予定されているので、過去問とは違ったスタイルの
問題が出題される可能性は、常にあります。
そんなときにも、落ち着いて普段の能力を発揮できるかどうかは、入試だけで
なく、実社会の様々な場面で役に立ちます。

実際のところこの問題は、世間で言うほどは難しくないと思います。


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 ◆2 -8から0まで2ずつ変化するので・・・

それでは条件をしっかり把握しながら、問題を確認していきましょう!

A,P,Qがどんな点で、直線とどういう関連性があるかきちんと把握して
ください。それさえできれば、ホントにこの問題は難しくないです。

まず、点A(-8,8)があります。

この点Aを通る直線y=-xがあり、点PはAを出発し、y=-x上を動く。
そして、点Pのx座標は毎秒2ずつ増える。

さらに、直線y=10xと点Qがあり、点Qは、点PがA出発するのと同時に
原点を出発する。点Qのx座標は毎秒1ずつ増える。

設問に入る前の、状況説明はこんなところです。
問題用紙にはグラフが描いてないので、自分で描きながら読んでいくとよいです。

ちなみに、グラフをざっと描くとこんなかんじです。

(ここでは図は省略します)

ここら辺で最初の設問を確認してみると、「点PがOに到達するのは何秒後か?」
と聞いています。問題の内容を把握していれば、簡単過ぎるくらいの設問です。

「点PはA(-8,8)を出発し、x座標が毎秒2ずつ増える」と言っているの
だから・・・


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