本日配信のメルマガ。2013年センター数学2B第3問 数列

本日配信のメルマガでは、2013年大学入試センター試験数学2B第3問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題

第3問

(1) 数列{pn}は次を満たすとする。

  p1=3,pn+1=(1/3)pn+1 (n=1,2,3,・・・) ・・・{1}

数列{pn}の一般項と、初項から第n項までの和を求めよう。まず、{1}から

  pn+1-[ア]/[イ]=(1/3)(pn-[ア]/[イ]) (n=1,2,3,・・・)

となるので、数列{pn}の一般項は

  pn=1/[ウ]・[エ]^(n-2)+[オ]/[カ]

である。したがって、自然数nに対して

  Σ[k=1~n]pk=([キ]/[ク])(1-1/[ケ]^n)+[コ]n/[サ]

である。

(2) 正の数からなる数列{an}は、初項から第3項がa1=3,a2=3,a3=3
であり、全ての自然数nに対して、

an+3=(an+an+1)/(an+2) ・・・{2}

を満たすとする。また、数列{bn},{cn}を、自然数nに対して、bn=a2n-1,
cn=a2nで定める。数列{bn},{cn}の一般項を求めよう。まず、{2}から

  a4=(a1+a2)/a3=[シ],a5=3,a6=[ス]/[セ],a7=3

である。したがって、b1=b2=b3=b4=3となるので、

  bn=3 (n=1,2,3,・・・) ・・・{3}

と推定できる。

 {3}を示すためには、b1=3から、すべての自然数nに対して

  bn+1=bn ・・・{4}

であることを示せばよい。このことを「まず、n=1のとき{4}が成り立つことを
示し、次に、n=kのとき{4}が成り立つと仮定すると、n=k+1のときも{4}
が成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法を[ソ]という。[ソ]
に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} 組立除法  {1} 弧度法  {2} 数学的帰納法  {3} 背理法

[I] n=1のとき、b1=3,b2=3であることから{4}は成り立つ。
[II] n=kのとき、{4}が成り立つ、すなわち

  bn+1=bk ・・・{5}

と仮定する。n=k+1のとき、{2}のnに2kを代入して得られる等式と、
2k-1を代入して得られる等式から

  bk+2=(ck+[タ]k+1)/[チ]k+1,ck+1=([ツ]k+ck)/[テ]k+1

となるので、bk+2は

  bk+2={([ト]k+[ナ]k+1)[ニ]k+1}/(bk+ck)

と表される。したがって、{5}により、bk+2=bk+1が成り立つので、{4}は
n=k+1のときにも成り立つ。

[I],[II]により、すべての自然数nに対して{4}の成り立つことが証明された。
したがって、{3}が成り立つので、数列{bn}の一般項はbn=3である。

 次に{2}のnを2n-1に置き換えて得られる等式と{3}から

  cn+1=(1/3)cn+1 (n=1,2,3,・・・)

となり、c1=[ヌ]であることと{1}から、数列{cn}の一般項は、(1)で求めた
数列{pn}の一般項と等しくなることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 シグマの公式
 ◆2 漸化式は隣り合った項の関係の式
 ◆3 an+1-α=p(an-α)の形を目指す

(以下略)

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■ 解説

◆1~3は省略します。


 ◆2 漸化式は隣り合った項の関係の式

今回は最初の設問がいきなり漸化式です。
慣れていない人は、ここからわからなかった人もいると思います。

漸化式の標準的な解き方を説明しながら解いていってみましょう!

まず、漸化式は、隣り合った項の関係を表す式です。
標準的な漸化式ではn項目とn+1項目の関係を表す式で与えられます。

とにかく、2項間の関係を表すだけなので、等差でも等比でもそれ以外でも、
様々な数列を表すことができます。

ということは、与えられた漸化式がどんな数列なのか読み取れるようになる
必要がある。といえます。

例えば、等差数列ならば、次の項に行くたびに一定の数を足すので、

an+1=an+α

のような形になります。
anには係数はつかず、anに定数を足したらan+1ですね。

等比数列ならば、次の項に行くたびに一定の数を掛けるので、

an+1=p・an

のような形になります。anに定数pを掛けたらan+1ですね。

この他にも、これらの複合した形や、もっと様々な形も考えられます。
ある程度は、ケースバイケースで解き方を覚えるしかないと思います。


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 ◆3 an+1-α=p(an-α)の形を目指す

設問の漸化式は「pn+1=(1/3)pn+1」です。

これは等差と等比の複合した形で、大学入試の漸化式の問題としては、最も
標準的な問題です。基本的とさえ言っても良いです。

この形の漸化式はまず★an+1-α=p(an-α)の形を目指して式を変形します。

式の変形の方法にはいろいろありますが、個人的にはこの式をそのまま変形して
与式と比較する方法をオススメすることが多いです。すなわち、

an+1-α=p(an-α)
  an+1=p・an-pα+α

これを与式と比較すると・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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