2013年大学入試センター試験数学2B第3問 数列

この記事では、2013年大学入試センター試験数学2B第3問を解説します。

なお、後日この記事は修正を予定しています。








★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学



■ 問題

第3問

(1) 数列{pn}は次を満たすとする。

  p1=3,pn+1=(1/3)pn+1 (n=1,2,3,・・・) ・・・{1}

数列{pn}の一般項と、初項から第n項までの和を求めよう。まず、{1}から

  pn+1-[ア]/[イ]=(1/3)(pn-[ア]/[イ]) (n=1,2,3,・・・)

となるので、数列{pn}の一般項は

  pn=1/[ウ]・[エ]^(n-2)+[オ]/[カ]

である。したがって、自然数nに対して

  Σ[k=1~n]pk=([キ]/[ク])(1-1/[ケ]^n)+[コ]n/[サ]

である。

(2) 正の数からなる数列{an}は、初項から第3項がa1=3,a2=3,a3=3
であり、全ての自然数nに対して、

an+3=(an+an+1)/(an+2) ・・・{2}

を満たすとする。また、数列{bn},{cn}を、自然数nに対して、bn=a2n-1,
cn=a2nで定める。数列{bn},{cn}の一般項を求めよう。まず、{2}から

  a4=(a1+a2)/a3=[シ],a5=3,a6=[ス]/[セ],a7=3

である。したがって、b1=b2=b3=b4=3となるので、

  bn=3 (n=1,2,3,・・・) ・・・{3}

と推定できる。

 {3}を示すためには、b1=3から、すべての自然数nに対して

  bn+1=bn ・・・{4}

であることを示せばよい。このことを「まず、n=1のとき{4}が成り立つことを
示し、次に、n=kのとき{4}が成り立つと仮定すると、n=k+1のときも{4}
が成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法を[ソ]という。[ソ]
に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} 組立除法  {1} 弧度法  {2} 数学的帰納法  {3} 背理法

[I] n=1のとき、b1=3,b2=3であることから{4}は成り立つ。
[II] n=kのとき、{4}が成り立つ、すなわち

  bn+1=bk ・・・{5}

と仮定する。n=k+1のとき、{2}のnに2kを代入して得られる等式と、
2k-1を代入して得られる等式から

  bk+2=(ck+[タ]k+1)/[チ]k+1,ck+1=([ツ]k+ck)/[テ]k+1

となるので、bk+2は

  bk+2={([ト]k+[ナ]k+1)[ニ]k+1}/(bk+ck)

と表される。したがって、{5}により、bk+2=bk+1が成り立つので、{4}は
n=k+1のときにも成り立つ。

[I],[II]により、すべての自然数nに対して{4}の成り立つことが証明された。
したがって、{3}が成り立つので、数列{bn}の一般項はbn=3である。

 次に{2}のnを2n-1に置き換えて得られる等式と{3}から

  cn+1=(1/3)cn+1 (n=1,2,3,・・・)

となり、c1=[ヌ]であることと{1}から、数列{cn}の一般項は、(1)で求めた
数列{pn}の一般項と等しくなることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。





まずは自力で解けるところまで解いてみてください。自分なりの考えを持ちながら
解説を読むと、考え方をスムーズに習得でき、短期間でも大幅に実力アップ!

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■ 解説目次

 ◆1 シグマの公式
 ◆2 漸化式は隣り合った項の関係の式
 ◆3 an+1-α=p(an-α)の形を目指す
 ◆4 かっこの中身を置き換えて
 ◆5 項が複数あるときは、分けてみよう
 ◆6 とりあえず代入
 ◆7 余裕があれば確認しよう
 ◆8 帰納法の考え方そのまま
 ◆9 誘導の通りに式を作る
 ◆10 ck+1の式ができたので代入
 ◆11 両辺で同じ形ができれば等しい
 ◆12 cn=a2nなので
 ◆13 説明の通りに式を作ると、もちろん説明の通り(笑)

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■ 解説


 ◆1 シグマの公式

2013年も、数学2B第3問は、数列の問題でした。
しかし、数列とは言っても、ほぼ全て漸化式についての問題です。
また、Σの計算が必要な部分もあります。

まずは、Σの公式をおさらいしておきましょう!
「そんなの知ってるよ!」という人は、ここは飛ばしてもらってもOKです。

★定数Σ[k=1~n]c=cn(cは定数)
★1次式Σ[k=1~n]k=(n/2)(n+1)
★2次式Σ[k=1~n]k^2=(n/6)(n+1)(2n+1)

ちなみに、普通の数式では、k=1はΣの下に、nはΣの上に書きます。

そして、★Σ[k=1~n]ar^(n-1)=a(r^n-1)/(r-1)

ですね。
ar^(n-1)は、等比数列の一般項なので、これは普通に等比数列の和の公式です。


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 ◆2 漸化式は隣り合った項の関係の式

今回は最初の設問がいきなり漸化式です。
慣れていない人は、ここからわからなかった人もいると思います。

漸化式の標準的な解き方を説明しながら解いていってみましょう!

まず、漸化式は、隣り合った項の関係を表す式です。
標準的な漸化式ではn項目とn+1項目の関係を表す式で与えられます。

とにかく、2項間の関係を表すだけなので、等差でも等比でもそれ以外でも、
様々な数列を表すことができます。

ということは、与えられた漸化式がどんな数列なのか読み取れるようになる
必要がある。といえます。

例えば、等差数列ならば、次の項に行くたびに一定の数を足すので、

an+1=an+α

のような形になります。
anには係数はつかず、anに定数を足したらan+1ですね。

等比数列ならば、次の項に行くたびに一定の数を掛けるので、

an+1=p・an

のような形になります。anに定数pを掛けたらan+1ですね。

この他にも、これらの複合した形や、もっと様々な形も考えられます。
ある程度は、ケースバイケースで解き方を覚えるしかないと思います。


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 ◆3 an+1-α=p(an-α)の形を目指す

設問の漸化式は「pn+1=(1/3)pn+1」です。

これは等差と等比の複合した形で、大学入試の漸化式の問題としては、最も
標準的な問題です。基本的とさえ言っても良いです。

この形の漸化式はまず★an+1-α=p(an-α)の形を目指して式を変形します。

式の変形の方法にはいろいろありますが、個人的にはこの式をそのまま変形して
与式と比較する方法をオススメすることが多いです。すなわち、

an+1-α=p(an-α)
  an+1=p・an-pα+α

これを与式と比較すると、p=1/3,-pα+α=1ですね。
計算すると、

-(1/3)α+α=1
   (2/3)α=1
       α=3/2

ということは、与式は、pn+1-3/2=(1/3)(pn-3/2)となります。

よって、[ア]=3,[イ]=2


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 ◆4 かっこの中身を置き換えて

まだ{pn}の一般項はわかっていませんね。

何のためにさっきのような式の形にしたかというと、両辺に同じ形を作って、
より簡単な漸化式に書き換えやすくするためなのです。

pn-3/2=qnとおくと、pn+1-3/2=qn+1となります。
nにn+1を代入すればそうなりますよね?

これを利用すると、pn+1-3/2=(1/3)(pn-3/2)は、とても簡単な
形になってしまいます。

qn+1=(1/3)qn

です。
これは、n+1項目にいくためには、n項目に1/3を掛けるので、数列{qn}
は公比が1/3の等比数列になります。

また、初項q1=p1-3/2=3-3/2=3/2です。

よって、qn=(3/2)(1/3)^(n-1)ですね。

そして、今pn-3/2=qnとおいたので、

pn=(3/2)(1/3)^(n-1)+3/2

となるわけです。
これで一応式は完成ですが、このままでは解答の形式に合わないので、少し変形
します。

pn=(1/2)・3・(1/3)^(n-1)+3/2
  =(1/2)(1/3)^(-1)・(1/3)^(n-1)+3/2 ←3=(1/3)^(-1)
  =(1/2)(1/3)^(n-2)+3/2
  =1/2・3^(n-2)+3/2

これで解答の形式と同じになりました。
よって、[ウ]=2,[エ]=3,[オ]=3,[カ]=2


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 ◆5 項が複数あるときは、分けてみよう

pnの一般項はわかったので、これをΣの公式に適用します。

 Σ[k=1~n]pk
=Σ[k=1~n]{1/2・3^(n-2)+3/2}
=Σ[k=1~n]{1/2・3^(n-2)}+Σ[k=1~n]3/2  ←2つのΣに分けた
=(3/2){1-(1/3)^n}/(1-1/3)+(3/2)n ←前半部分は等比
=(3/2)(1-1/3^n)/(2/3)+(3/2)n   ←分子と分母を計算
=(9/4)(1-1/3^n)+3n/2        ←解答の形式に合わせた

よって、[キ]=9,[ク]=4,[ケ]=3,[コ]=3,[サ]=2

計算がちょっと大変ですが、一般項さえ出てしまえば、Σに代入するだけですね!

ちなみに、前半部分は等比数列なので、その部分の初項と公比を考えます。

1/2・3^(n-2)にn=1を代入すると初項が3/2と出ます。
また、次の項に行くたびに分母に3を掛けるので、公比は1/3です。


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 ◆6 とりあえず代入

さて、今回の問題はまだまだ続きがあります。

いろいろ書いてありますが、次の設問は要するに、数列{an}の第4~6項目を
求めよ。ということです。

a1=3,a2=3,a3=3で、an+3=(an+an+1)/(an+2)という式が
成り立っているそうです。

まずは代入してみれば、それぞれの値が出せますね!やってみましょう!

a4=(a1+a2)/a3
  =(3+3)/3
  =6/3
  =2

a5=(a2+a3)/a4
  =(3+3)/2
  =3

a6=(a3+a4)/a5
  =(3+2)/3
  =5/3

よって、[シ]=2,[ス]=5,[セ]=3


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 ◆7 余裕があれば確認しよう

a6までわかったところで、問題文に書いてあることを確認しましょう!

bn=a2n-1とあります。
これを用いて、b1~b4が3になることを確認しておきましょう。

実際のセンター試験では、問題文に書いてあるのだからその通りに違いないので、
特に検証する必要はありませんが、もし余裕があれば、念のためやっておくと、
ここまでに間違いがあるか無いかを確認できます。

b1=a1=3
b2=a3=3
b3=a5=3
b4=a7=3

ですね。
やはり、b1~b4は全て3です。ならば、一般的にbn=3になりそうですね!


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 ◆8 帰納法の考え方そのまま

b1=3なので、bn+1=bnを示せば、bn=3証明したことになります。

このことを「まず、n=1のとき{4}が成り立つことを示し、次に、n=kのとき
{4}が成り立つと仮定すると、n=k+1のときも{4}が成り立つことを示す方法」

の名前を聞いています。

これはほとんどの参考書で目次にも書いてある事項なので、ほとんど全員が
わかったはずです。

もちろん数学的帰納法ですね。

よって、[ソ]={2}

このかぎかっこ内の文は、まさに数学的帰納法の基本的な考え方を説明したもの
です。


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 ◆9 誘導の通りに式を作る

では、帰納法を使って証明してみましょう!

まず、

「[I] n=1のとき、b1=3,b2=3であることから{4}は成り立つ。」

ですね。特に説明は必要ないかと思います。

そして、

「[II] n=kのとき、{4}が成り立つ、すなわち

  bk+1=bk ・・・{5}

と仮定する。n=k+1のとき、{2}のnに2kを代入して得られる等式と、
2k-1を代入して得られる等式から」

とあるので、その通りの式を作ってみましょう!

{2}のnに2kを代入すると、

a2k+3=(a2k+a2k+1)/a2k+2

同じく2k-1を代入すると、

a2k+2=(a2k-1+a2k)/a2k+1

bn=a2n-1,cn=a2nなので、bk+1=a2k+1,bk+2=a2k+3,ck+1=a2k+2
と表すことができます。これらをそれぞれの式に代入すると、

bk+2=(ck+bk+1)/ck+1

ck+1=(bk+ck)/bk+1

となります。

よって、[タ]=b,[チ]=c,[ツ]=b,[テ]=b


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 ◆10 ck+1の式ができたので代入

今作った2つの式、bk+2=(ck+bk+1)/ck+1とck+1=(bk+ck)/bk+1を
組み合わせると、もう少し簡単な式ができそうです。

とりあえず代入してみましょう!

ck+1=(bk+ck)/bk+1をbk+2=(ck+bk+1)/ck+1に代入すると、

bk+2=(ck+bk+1)/{(bk+ck)/bk+1}

解答の形式と似た形になりました。
これをさらに変形するには、何をすれば良いかというと・・・

分子と分母にbk+1を掛ければいいですね!

bk+2={(ck+bk+1)bk+1}/(bk+ck)

これでちょうど同じ形になってしまいました。ラッキー!(笑)

よって、[ト]=c,[ナ]=b,[ニ]=b


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 ◆11 両辺で同じ形ができれば等しい

次に「したがって、{5}により、bk+2=bk+1が成り立つので、{4}はn=k+1
のときにも成り立つ」とあります。

これも、実際の試験時間中にはわざわざ検証している暇はないと思いますが、
普段の勉強では、どうしてそんなことが言えるのか、ちゃんと確認しておいた方が
いいですよ!
一応やってみましょう!

bk+2={(ck+bk+1)bk+1}/(bk+ck)の両辺に(bk+ck)を掛けてみると、

bk+2(bk+ck)=bk+1(bk+1+ck)

となります。

さらに、{5}よりbn+1=bkなので、bn+1=bk=Aとおくと、

bk+2(A+ck)=bk+1(A+ck)

と表すことができます。
だから、bk+2=bk+1が成り立ちますね!


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 ◆12 cn=a2nなので

残りの回答欄は[ヌ]だけです。これはすぐに求められるので、まずは出して
しまいましょうか。

c1=a2=3

よって、[ヌ]=3

終わってしまいました(笑)
たぶん、これだけで終わりではあんまりなので、張り巡らせた伏線を全部回収
するような説明を加えているのでしょう。

やはり、試験本番では、回答欄が全部埋まったら、他の問題に移った方が良い
ですが、ここではもう少し検証してみます。


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 ◆13 説明の通りに式を作ると、もちろん説明の通り(笑)

まず、bnについて。

b1=3,とbn+1=bnが確認できたので、bn=3が証明できました。

そして、cnについて。

an+3=(an+an+1)/an+2 ・・・{2}

これのnを2n-1に置き換えてみると、

a2n+2=(a2n-1+a2n)/a2n+1
cn+1=(bn+cn)/bn+1
cn+1=(3+cn)/3
cn+1=(1/3)cn+1

となります。
これは、最初に考えたpnの漸化式と同じ形です。
c1=p1=3なので、初項も同じです。

ならば、cn=pnというわけですね!


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今回取り上げた問題の解説は以上です。理解できましたか?
できた人もできなかった人も、ここでいったん、解説の目次に戻って、解答に
至るためにはどんなことを考えて、何を利用すれば良いのか見直してください。
各小見出しが手がかりとなって、進むべき道がよりはっきり見えるはずです。
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■ 今回の公式・定理など

★ 定数Σ[k=1~n]c=cn(cは定数)
★ Σ[k=1~n]ar^(n-1)=a(r^n-1)/(r-1) (等比数列の和)
★ 漸化式はまずこの形を作る。an+1-α=p(an-α)

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■ 解答一覧

[ア]=3,[イ]=2,[ウ]=2,[エ]=3,[オ]=3,[カ]=2,[キ]=9,
[ク]=4,[ケ]=3,[コ]=3,[サ]=2,[シ]=2,[ス]=5,[セ]=3,
[ソ]=2,[タ]=b,[チ]=c,[ツ]=b,[テ]=b,[ト]=c,[ナ]=b,
[ニ]=b,[ヌ]=3

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■ 編集後記

ということで、数学2B2013年第3問でした。

一見してかなりの難問のように見えますが、とても丁寧な誘導があり、マーク
する場所も式の一部なので、全然わからなくても、雰囲気でありそうな数字を
入れたら得点できてしまった人も多いと思います。
本番では得点の可能性を最大限追求すべきですが、普段の勉強では、それぞれの
式の理由もしっかり理解し、習得すると良いですよ!

解説の間違い・不足や、何かリクエストなどありましたら、何でもいいので、
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