2013年大学入試センター試験数学1A第1問[1] 式の計算、平方根

この記事では、2013年大学入試センター試験数学1A第1問[1]を解説します。

なお、後日この記事は修正を予定しています。








★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

第1問

[ 1 ] A=1/(1+√3+√6),B=1/(1-√3+√6)とする。
  このとき

   AB=1/{(1+√6)^2-[ア]}=(√6-[イ])/[ウ]

  であり、また

   1/A+1/B=[エ]+[オ]√6

  である。以上により

   A+B=([カ]-√6)/[キ]

  となる。

※分数は(分子)/(分母)、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

まずは自力で解けるところまで解いてみてください。自分なりの考えを持ちながら
解説を読むと、考え方をスムーズに習得でき、短期間でも大幅に実力アップ!


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。





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■ 解説目次

 ◆1 AB=A×B
 ◆2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2で有理化
 ◆3 1/A,1/Bは逆数
 ◆4 1/A+1/Bから関係式を作る
 ◆5 あとは計算するだけ

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 ◆1 AB=A×B

旧課程のセンター試験第1問[1]は、式の値などの計算問題が出題されていました。
新課程でも配置は変わったとしても、類似の問題は出題される可能性は大いに
あります。

この手の問題には、少し複雑な計算だったり、絶対値が含まれていたりします。
数学初心者には難しく感じられるものもありますが、大学入試問題としては
基本的な問題ばかりなので、必ず全問正解したいですね。

2013年は、まずはA,Bの値が与えられていて、ABの値をたずねています。

ABはもちろんA×Bなので、その通りに計算すればOK!

AB={1/(1+√3+√6)}×{1/(1-√3+√6)}
  ={1/(1+√6+√3)}×{1/(1+√6-√3)}
  =1/(1+√6+√3)(1+√6-√3) ←分子同士、分母同士を掛けた
  =1/{(1+√6)^2-(√3)^2}     ←(a+b)(a-b)=a^2-b^2

最初の回答欄は、AB=1/{(1+√6)^2-[ア]}なので、[ア]=3


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 ◆2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2で有理化

引き続き計算すると、

  =1/(1+2√6+6-3)
  =1/(4+2√6)

(a+b)(a-b)=a^2-b^2を利用して、分母を有理化すると、

  =(4-2√6)/{(4+2√6)(4-2√6)} ←分子と分母に4-2√6を
  =(4-2√6)/{4^2-(2√6)^2}               掛けた
  =(4-2√6)/(16-24)
  =(4-2√6)/(-8)
  =(√6-2)/4              ←約分した

よって、[イ]=2,[ウ]=4


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 ◆3 1/A,1/Bは逆数

次は「1/A+1/B=[エ]+[オ]√6」とあるので、またまたその通りに
計算してみます。

A=1/(1+√3+√6),B=1/(1-√3+√6)でした。

1/A,1/Bは、それぞれA,Bの逆数なので、
1/A=(1+√3+√6),1/B=(1-√3+√6)となります。

1/A+1/B=(1+√3+√6)+(1-√3+√6)
       =2+2√6

たったこれだけで回答欄とぴったり!

よって、[エ]=2,[オ]=2


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 ◆4 1/A+1/Bから関係式を作る

そして最後はA+Bの値です。

またまたその通りに計算・・・でも、もちろんOKですが、大学入試問題では、
前に出した値を利用した方が簡単な場合がよくあります。

この問題の場合も、AB,1/A+1/Bを利用できそうだな。と推測して
おきたいところです。
これらを利用するためには・・・1/Aと1/Bを足してみます。

1/A+1/B=B/AB+A/AB
       =(A+B)/AB

通分して足すとこのようになります。
これはつまり、1/A+1/BとA+B,ABの関係を表した式とみることが
できます。

1/A+1/BとABの値はわかっているので、この式にそれぞれ代入すれば
A+Bについての方程式ができる。という寸法ですね!


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 ◆5 あとは計算するだけ

1/A+1/B=(A+B)/ABに、今まで求めた値を代入すると、

        2+2√6=(A+B)/{(√6-2)/4}
(A+B)/{(√6-2)/4}=2+2√6           ←入れ替えた
          A+B=(2+2√6)(√6-2)/4   ←両辺に掛けた
             =(2√6-4+12-4√6)/4 ←展開した
             =(8-2√6)/4        ←まとめた
             =(4-√6)/2         ←約分した

ということで、回答欄に合う形になりました。

よって、[カ]=4,[キ]=2

というわけで、ただ単に計算するだけで完成してしまいました。
センター試験としても、簡単な方の問題だったと思います。
この問題で苦戦してしまった人は、もう一度基本から復習した方がよいかも?


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今回取り上げた問題の解説は以上です。理解できましたか?
できた人もできなかった人も、ここでいったん、解説の目次に戻って、解答に
至るためにはどんなことを考えて、何を利用すれば良いのか見直してください。
各小見出しが手がかりとなって、進むべき道がよりはっきり見えるはずです。
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■ 今回の公式・定理・性質など

★ (a+b)(a-b)=a^2-b^2
★ 分母に項が複数あるときの有理化は(a+b)(a-b)=a^2-b^2を利用
★ 1/A,1/BはA,Bの逆数

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■ 解答一覧

[ア]=3,[イ]=2,[ウ]=4,[エ]=2,[オ]=2,[カ]=4,[キ]=2

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■ 編集後記

ということで、2013年数学1A第1問[1]でした。
火曜日は1A、金曜日は2Bを取り上げます。

今回の問題は、大学入試としては基本的です。
素早く(できれば5分以下で)、確実に(全問正解)したいところですね!

解説の間違い・不足や、何かリクエストなどありましたら、何でもいいので、
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