2014年大学入試センター試験数学2B第1問[1] 図形と方程式

この記事では、2014年大学入試センター試験数学2B第1問[1]を解説します。

なお、後日この記事は修正を予定しています。







★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

第1問

[1] Oを原点とする座標平面において、点P(p,q)を中心とする円Cが、
方程式y=(4/3)xで表される直線lに接しているとする。

(1) 円Cの半径rを求めよう。
 点Pを通り直線lに垂直な直線の方程式は

   y=-([ア]/[イ])(x-p)+q

なので、Pからlに引いた垂線とlの交点Qの座標は

   ((3/25)([ウ]p+[エ]q),(4/25)([ウ]p+[エ]q))

となる。
 求めるCの半径rは、Pとlの距離PQに等しいので、

   r=(1/5)|[オ]p-[カ]q| ・・・{1}

である。

(2) 円Cが、x軸に接し、点R(2,2)を通る場合を考える。このとき、
p>0,q>0である。Cの方程式を求めよう。

 Cはx軸に接するので、Cの半径rはqに等しい。したがって、{1}により、
p=[キ]qである。

 Cは点Rを通るので、求めるCの方程式は

   (x-[ク])^2+(y-[ケ])^2=[コ] ・・・{2}
または
   (x-[サ])^2+(y-[シ])^2=[ス] ・・・{3}

であることがわかる。ただし[コ]<[ス]とする。

(3) 方程式{2}の表す円の中心をS,方程式{3}の表す円の中心をTとおくと、
直線STは原点Oを通り、点Oは線分STを[セ]する。[セ]に当てはまるものを、
次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。

{0} 1:1に内分  {1} 1:2に内分  {2} 2:1に内分
{3} 1:1に外分  {4} 1:2に外分  {5} 2:1に外分


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}
マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



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■ 解説

 ◆1 y-y1=m(x-x1)も使えるようにしよう!
 ◆2 円の標準形と一般形
 ◆3 グラフは決まっているものを先に描こう
 ◆4 垂直条件はmm’=-1
 ◆5 交点なら連立
 ◆6 半径と接線は垂直
 ◆7 x軸に接するなら、中心のy座標が半径
 ◆8 通る点は代入できる
 ◆9 O,S,Tは等間隔

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■ 解説


 ◆1 y-y1=m(x-x1)も使えるようにしよう!

2014年第1問[1]は直線や円に関する問題でした。
今回の問題に入る前に、直線と円の基本を確認しておきましょう!
「そんなの知ってるよ!」という人は、ここは飛ばしてもらってもOKです。

まず直線は、中学でも習ったように、★y=ax+bと表すことができます。
傾きがa,y切片がbですね。
2点を通る直線を求めたいときは、a,bについての式を2つ作って連立します。

高校ではこれを少し発展させて、2点を通るときも一発で直線の式が完成する
ようにしています。

2点の座標を(x1,y1),(x2,y2)とすると、

★ y-y1={(y2-y1)/(x2-x1)}(x-x1)

ここで、(y2-y1)/(x2-x1)の部分は要するに、中学でも変化の割合の定義
として習った、(yの増加量)/(xの増加量)です。

この変化の割合=傾きをmとすれば、★y-y1=m(x-x1)となります。
この式は、傾きと直線上の点1つがわかっているときに使える。と考えます。

y=ax+bで解けない問題はまずありませんが、時間短縮のためには、これら
高校で習った公式を使えるようにしておいた方がよいと思います。


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 ◆2 円の標準形と一般形

次に円の式を確認してみましょう!
中心の座標を(p,q)、半径をrとすると、

★ (x-p)^2+(y-q)^2=r^2

このように表すことができます。この形を円の標準形と言います。
言うまでもないかも知れませんが、円では中心と半径が重要です。

そして、この式を展開して整理すると、次のようにすることができます。

★ x^2+y^2+ax+by+c=0

展開してr^2を移項する。というわけですね。これが円の一般形です。
中心や半径についての情報がないときは、この式を利用することがあります。

また、この一般形を平方完成すると、標準形にすることができますね。
一般形で円の方程式を求めた場合は、標準形に直して、中心と半径を求める
場合が多いです。


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 ◆3 グラフは決まっているものを先に描こう

さて、前置きはこのくらいにして、今回の問題に取りかかってみましょう!

まずは問題の条件を確認します。
円Cと直線lについて説明がありますね。

円Cは点P(p,q)を中心としている。
直線lは方程式y=(4/3)xで表され、円Cに接している。

ことがわかります。
ここからは、グラフを描きながら読んでいってください。

まず、直線lは式が決まっているので、それらしく見えるように描きます。
点Pはまだ場所がわからないので、適当なところに取ります。
半径もまだわからないですが、直線lが接線になることは分かっているので、
先ほど描いた直線と接するように円を描きます。

描きましたか?


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 ◆4 垂直条件はmm'=-1

では、設問を確認しましょう!

「点Pを通り直線lに垂直な直線の方程式」を聞いていますね。

点P(p,q)は、今のところそのまま使うようなので、「直線lに垂直」という
部分に注目します。

直線の垂直条件は何でしたか?

★ mm'=-1

ですね。
つまり、垂直な直線は傾きを掛けると-1になります。
または、片方の傾きを逆数にして符号を変えると、もう片方になる。という見方
も可能です。

直線lの傾きは4/3なので、

(4/3)m'=-1
    m'=-3/4

点P(p,q)とm'=-3/4をy-y1=m(x-x1)に代入すると、

y-q=(-3/4)(x-p)
  y=(-3/4)(x-p)+q

となります。
よって、[ア]=3,[イ]=4


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 ◆5 交点なら連立

次は、この垂線とlとの交点を聞いています。
2直線の交点ならば、連立して解けばいいですね!

y=(4/3)xとy=(-3/4)(x-p)+qを連立して、

(4/3)x=(-3/4)(x-p)+q
  16x=-9(x-p)+12q     ←両辺に12を掛けた
  16x=-9x+9p+12q
  25x=9p+12q         ←移項した
    x=(9p+12q)/25
    x=(3/25)(3p+4q)

このx座標をy=4/3xに代入すると、

y=(4/3)(3/25)(3p+4q)
 =(4/25)(3p+4q)

よって、求める交点の座標は((3/25)(3p+4q),(4/25)(3p+4q))
となります。

つまり、[ウ]=3,[エ]=4


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 ◆6 半径と接線は垂直

そして次は円Cの半径を求めます。

問題文にもあるように、「Cの半径rは、Pとlの距離PQに等しい」です。

これは、円と接線の性質と、点と直線の距離の求め方からわかります。つまり、

円の接線と接点に引いた半径は垂直に交わる。
点と直線の距離は、点から直線に引いた線分の長さに等しい。

ので、Cの半径rはPとlの距離PQに等しくなるのです。

これを求めるには、点と直線の距離の公式を用います。
直線ax+by+c=0と点(x1,y1)の間の距離は、

★ d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)

ですね。
この公式に代入するには、直線の式をax+by+c=0の形に直す必要が
あります。直線lはy=(4/3)xなので、(4/3)x-y=0となります。
これは両辺に3を掛けて、4x-3y=0としておくと、あとの計算が楽です。
これと点P(p,q)間の距離なので、

r=|4p-3q|/√(4^2+3^2)
 =|4p-3q|/√25
 =(1/5)|4p-3q|

よって、[オ]=4,[カ]=3


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 ◆7 x軸に接するなら、中心のy座標が半径

(2)では「円Cが、x軸に接し、点R(2,2)を通る場合」について考えます。
このとき「p>0,q>0」となります。

このような条件で、円Cの方程式を求めていきます。

次に「Cはx軸に接するので、Cの半径rはqに等しい」とあります。

Cの中心はP(p,q)で、Cがx軸に接するならば、半径は中心のy座標と
同じになる。というわけです。ここから、まずr=qが言えます。

そして{1}より、r=(1/5)|4p-3q|なので、

 q=(1/5)|4p-3q|
5q=|4p-3q|

絶対値の中身がプラスつまり、4p-3q>0のときはそのまま絶対値を外して、

5q=4p-3q
4p=3q+5q
4p=8q
 p=2q

よって、[キ]=2

ちなみに、4p-3q<0のときは、5q=-4p+3qより、p=(1/2)q
となる。


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 ◆8 通る点は代入できる

そして、「Cは点Rを通る」ので、Cの方程式にR(2,2)を代入します。
また、◆7で求めたように、r=q,p=2qも代入できます。

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2に、R(2,2),p=2q,r=qを代入すると、

    (2-2q)^2+(2-q)^2=q^2
4-8q+4q^2+4-4q+q^2=q^2
       4q^2-12q+8=0      ←移項してまとめた
         q^2-3q+2=0      ←両辺を4で割った
        (q-1)(q-2)=0
よって、q=1,2

どちらもq>0を満たすので、q=1,2の両方が適した解のようです。

q=1のとき、(x-2)^2+(y-1)^2=1

q=2のとき、(x-4)^2+(y-2)^2=4

という2つの円の方程式が得られました。
これらは、ちょうど解答の形式に合っています。

よって、[ク]=2,[ケ]=1,[コ]=1,[サ]=4,[シ]=2,[ス]=4


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 ◆9 O,S,Tは等間隔

次は、今求めた円の中心をそれぞれS,Tとし、それらを結んだ線について
考えます。

S(2,1),T(4,2)なので、問題文にもあるとおり、直線STは原点Oを
通ります。

グラフを確認してみればすぐに気づくと思いますが、O,S,Tは等間隔に
並んでいます。つまり、SはOTの中点である。とも言えます。

この位置関係を理解したら、「点Oは線分STを[セ]する」に適する表現を
選べばOKです。

つまり、点Oは線分STを・・・「1:2に外分する」ですね!

よって、[セ]={4}


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今回取り上げた問題の解説は以上です。理解できましたか?
できた人もできなかった人も、ここでいったん、解説の目次に戻って、解答に
至るためにはどんなことを考えて、何を利用すれば良いのか見直してください。
各小見出しが手がかりとなって、進むべき道がよりはっきり見えるはずです。
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■ 今回の公式・定理など

★ 2点を通る直線y-y1={(y2-y1)/(x2-x1)}(x-x1)
★ 傾きmの直線y-y1=m(x-x1)
★ 円の標準形(x-p)^2+(y-q)^2=r^2
★ 円の一般形x^2+y^2+ax+by+c=0
★ 直線の垂直条件mm’=-1
★ 点と直線の距離d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)
★ 円周上の点は円の式に代入できる

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■ 解答一覧

[ア]=3,[イ]=4,[ウ]=3,[エ]=4,[オ]=4,[カ]=3,[キ]=2,
[ク]=2,[ケ]=1,[コ]=1,[サ]=4,[シ]=2,[ス]=4,[セ]=4

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■ 編集後記

ということで、数学2B2014年第1問[1]でした。

丁寧な誘導があるので、導かれるままにやれば、特に難しいところはなかった
と思います。焦って解答に飛びつかず、とにかく条件をよく確認し、わかること
を確実に求めていくのが大切です。


解説の間違い・不足や、何かリクエストなどありましたら、何でもいいので、
お気軽にご連絡ください。

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