2014年大学入試センター試験数学2B第2問 微分積分

この記事では、2014年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。

なお、後日この記事は修正を予定しています。







★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

第2問

 pを実数とし、f(x)=x^3-pxとする。

(1) 関数f(x)が極値をもつためのpの条件を求めよう。f(x)の導関数は
f'(x)=[ア]x^[イ]-pである。したがって、f(x)がx=aで極値をとる
ならば、[ア]a^[イ]-p=[ウ]が成り立つ。さらに、x=aの前後でのf'(x)の
符号の変化を考えることにより、pが条件[エ]を満たす場合は、f(x)は必ず
極値をもつことがわかる。[エ]に当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから
一つ選べ。

{0} p=0  {1} p>0  {2} p≧0  {3} p<0  {4} p≦0

(2) 関数f(x)がx=p/3で極値をとるとする。また、曲線y=f(x)をC
とし、C上の点(p/3,f(p/3))をAとする。

 f(x)がx=p/3で極値をとることから、p=[オ]であり、f(x)は
x=[カキ]で極大値をとり、x=[ク]で極小値をとる。

 曲線Cの接線で、点Aを通り傾きが0でないものをlとする。lの方程式を
求めよう。lとCの接点のx座標をbとすると、lは点(b,f(b))における
Cの接線であるから、lの方程式はbを用いて

  y=([ケ]b^2-[コ])(x-b)+f(b)

と表すことができる。また、lは点Aを通るから、方程式

  [サ]b^3-[シ]b^2+1=0

を得る。この方程式を解くと、b=[ス],[セソ]/[タ]であるが、lの傾きが
0でないことから、lの方程式は

  y=([チツ]/[テ])x+[ト]/[ナ]

である。

 点Aを頂点とし、原点を通る放物線をDとする。lとDで囲まれた図形のうち、
不等式x≧0の表す領域に含まれる部分の面積Sを求めよう。Dの方程式は

  y=[ニ]x^2-[ヌ]x

であるから、定積分を計算することにより、S=[ネノ]/24となる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ ===============================

茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室
「AE個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。

1クラス4人までの少人数で、経験豊富なプロ講師の授業が受けられます。
女性講師も指定可能です。対象は小学生~高校生・浪人生。
1回の授業では、基本的に英語または数学の1教科を集中的に指導します。
1:1の授業をご希望の方への特別コースもご用意しています。

東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
同時募集しています。

興味をお持ちの方は、まずは mm@a-ema.com までお問い合わせください。

家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 解説

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値が0
 ◆3 積分は微分の逆で、面積
 ◆4 導関数なので微分
 ◆5 極値をもつ→f'(x)=0のときがある
 ◆6 p/3で極値→f'(p/3)=0
 ◆7 x^3の係数がプラスなら右上がり
 ◆8 接線の傾きは導関数
 ◆9 Aを通るなら座標を代入
 ◆10 3次方程式なら因数定理
 ◆11 b=-1/2を代入して
 ◆12 頂点がわかれば2次関数の標準形
 ◆13 「囲まれた部分」の場所は連立でわかる
 ◆14 下に凸の放物線なら直線が上

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 解説


 ◆1 導関数は傾きを表す

2014年数学2B第2問は、微分積分が主なポイントになっています。
まずは、微分積分に関する基本的な用語と方法について確認しておきましょう!
「そんなの知ってるよ!」という人は、◆1~3は飛ばしてもらってもOKです。

まず、微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算
できます。また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。

★ y=x^nならば、y'=nx^(n-1)

この微分してできた関数y'が導関数ですね。

また、★定数を微分すると0になります。

そして、この導関数は、接線の傾きを表します。
高校数学でよく出てくる2次関数や3次関数などは、曲線です。
曲線は接線を引いてみると、場所によってその傾きが異なります。
この傾きの変化を表した式が「導関数」です。

さらに、導関数は接線の傾きを表すので、接線について考えるときはまず微分!
とイメージしておくとよいです。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆2 極値では導関数の値が0

次に極値について確認しておきましょう。

曲線のグラフを描いてみると、線が山のようになったり谷のようになったりする
部分ができることがあります。

この山や谷の部分のyの値を「極値」と呼びます。
関数は、極値のところを境に増加から減少に、または、減少から増加に転じます。
つまり、極値を境に接線の傾きの符号が変わるのです。

ということは、★「極値のときの導関数の値は0」になる。と言えます。

そして、この極値が、その周辺より大きいとき(山)が「極大値」で、周辺より
小さい(谷)が「極小値」です。

数学2の微分積分のメインとなる3次関数では、この極大極小がとても重要です。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆3 積分は微分の逆で、面積

そして、積分についても簡単に確認しておきましょう。

積分は一言で言えば、「微分の逆」です。

微分は「次数を1下げて、もとの次数を係数に掛ける」のだから、

積分は★「次数を1上げて、新しい次数で割る」と考えればOKです。
式は、積分したい関数を∫とdxで挟んで表記します。

★ ∫x^ndx={1/(n+1)}x^(n+1)+C

また、微分するときに定数は0になって消えていたので、積分するとその定数を
復活させます。それが最後についている積分定数Cです。

積分すると、もとの関数とx軸との間の面積が出ます。
2つ関数の間の面積を求めたい場合は、「上引く下」をして積分します。

積分はイメージ先行で「難しい」と言う人も多いですが、数学2の範囲の積分は
慣れれば「微分より簡単!」と言う人もいるくらいです。

ここまで説明したことで、イメージがつかめない人は、教科書などの基本問題に
戻って練習することをオススメします。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆4 導関数なので微分

さてそれではこの辺で、今回の問題にいってみましょう!

まず「pを実数とし、f(x)=x^3-pxとする」とあります。

比較的シンプルな3次関数ですね。
そして、まず最初に聞いていることは、

「f(x)の導関数はf'(x)=[ア]x^[イ]-pである」

です。
早速出てきました。導関数。
導関数は微分した関数なので、f(x)を微分してみます。
それぞれの項について「次数を1下げて、もとの次数を係数に掛ける」ので、

f'(x)=3x^2-p

となります。
最初の設問はこれだけで完成!

よって、[ア]=3,[イ]=2


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆5 極値をもつ→f'(x)=0のときがある

そして、「f(x)がx=aで極値をとる」は、f'(a)=0を意味します。
◆2で説明したように、極値のときは導関数の値が0だからですね。つまり、

f'(a)=3a^2-p=0

となります。
よって、[ウ]=0

「さらに、x=aの前後でのf'(x)の符号の変化を考え」、f(x)が必ず極値を
もつようなpの値の範囲を聞いています。

「必ず極値を持つ」ということは、「f'(x)=0となる場合がある」ことを
意味します。

これはつまり、f'(x)=0という方程式が解を持つ。といえます。

問題の誘導通りの考え方でいくならば、x=aの前後でf'(x)の符号がかわる。
つまり、x軸と交わる。と言っても同じです。

f'(x)=3x^2-pがx軸と交わるためには、3x^2の部分は常にプラスなので、
-pの部分がマイナスになる必要があります。つまり、p>0となります。

よって、[エ]={1}

ちなみに、p=0のときは、1瞬だけ接線が真横になるが、増加から減少に
または減少から増加に転じたりはしないので、極値はもたない。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆6 p/3で極値→f'(p/3)=0

さて、(2)は、また別の条件が追加されています。
f(x)は先ほどと同じですが、「x=p/3で極値をとる」として、y=f(x)
を曲線Cと定義しています。

f(x)がx=p/3で極値をとる。ということは、f'(p/3)=0ですね。
その通りやってみましょう!

f'(p/3)=3(p/3)^2-p=0
        3p^2/9-p=0
          p^2-3p=0
         p(p-3)=0
よって、p=0,3

ここで、◆5で考えたように、極値をもつにはp>0なので、p=3となります。

よって、[オ]=3

ということは、A(p/3,f(p/3))=A(1,-2)となります。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆7 x^3の係数がプラスなら右上がり

pの値がわかったので、これを利用すれば、極大極小もわかりますね!

f(x)=x^3-3xなのて、f'(x)=3x^2-3となります。

極値はf'(x)=0なので、

   3x^2-3=0
    x^2-1=0
(x+1)(x-1)=0
よって、x=±1

x^3の係数がプラスなので、グラフは全体として右上がりだから、この2つの
極値のうち、左側が極大、右側が極小となります。

つまり、x=-1のとき極大、x=1のとき極小です。
よって、[カキ]=-1,[ク]=1

ちなみに、x=-1,1をそれぞれf(x)に代入しても、極大極小の区別が
できます。

f(-1)=(-1)^3-3×(-1)
    =-1+3
    =2

f(1)=1^3-3×1
   =1-3
   =-2

f(x)の値が大きい方が極大で、小さい方が極小ですね!


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆8 接線の傾きは導関数

次は接線lの方程式を求めます。

接線lは、「曲線Cの接線で、点Aを通り傾きが0でないもの」で、
「lとCの接点のx座標をb」とするそうです。

まず、接線の傾きは導関数で求めることができます。
導関数は接線の傾きを表す関数でしたね。

y'=3x^2-3

で、接点のx座標はbなので、この点における接線の傾きは3b^2-3です。

また、接点の座標は(b,f(b))です。

これらの条件を満たす直線が求める接線です。

★直線の公式y-y1=m(x-x1)に傾きと座標を代入すると、

y-f(b)=(3b^2-3)(x-b)
    y=(3b^2-3)(x-b)+f(b)

となります。
これは、ちょうど解答の形式とも合っていますね!

よって、[ケ]=3,[コ]=3


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆9 Aを通るなら座標を代入

そして「lは点Aを通る」ので、もちろん点Aの座標を代入しても構いません。
◆6で求めたように、A(1,-2)です。そして、f(b)=b^3-3bなので、
そのまま代入すると、

-2=(3b^2-3)(1-b)+b^3-3b
-2=3b^2-3-3b^3+3b+b^3-3b    ←展開した
-2=-2b^3+3b^2-3            ←同類項をまとめた
 0=-2b^3+3b^2-1            ←移項した

両辺を入れ替えると、2b^3-3b^2+1=0となります。
これで目標の形と同じになりました。

よって、[サ]=2,[シ]=3


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆10 3次方程式なら因数定理

さらにこれを解きましょう!

3次方程式は因数定理を使うとよい場合があります。
因数定理は、★「xの整式にaを代入して式の値が0になるならば、その整式は
x-aを因数にもつ」という定理です。

b=1を代入すると、2-3+1=0なので、2b^3-3b^2+1はb-1を
因数に持ちます。つまり、この3次式はb-1で割り切れます。

割ってみると、2b^2-b-1となるので、

2b^3-3b^2+1=(b-1)(2b^2-b-1)となります。

かっこの中が2次式以下になったので、あとは普通に因数分解して解けばOK!

(b-1)(2b^2-b-1)=(b-1)(2b+1)(b-1)
            =(b-1)^2(2b+1)=0
ゆえに、b=1,-1/2となる。

よって、[ス]=1,[セソ]=-1,[タ]=2


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆11 b=-1/2を代入して

f'(x)=3x^2-3より、b=x=1のときf'(x)=0となります。
lの傾きは0ではないので、b=-1/2と決まります。
これを先ほど求めた接線の方程式に代入すると、

y=(3b^2-3)(x-b)+f(b)
 ={3(-1/2)^2-3}{x-(-1/2)}+(-1/2)^3-3(-1/2)
 =(3/4-3)(x+1/2)-1/8+3/2
 =-9/4(x+1/2)+11/8      ←通分して加減した
 =(-9/4)x-9/8+11/8      ←かっこを外した
 =(-9/4)x+2/8
 =(-9/4)x+1/4

これで接線lの方程式が完成しましたね!

よって、[チツ]=-9,[テ]=4,[ト]=1,[ナ]=4


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆12 頂点がわかれば2次関数の標準形

いよいよ最後の設問です。

最後に来て「放物線D」が登場します。
この放物線Dは、「点Aを頂点とし、原点を通る放物線」だそうです。

つまり、A(1,-2)を頂点とし、O(0,0)を通る放物線です。
頂点がわかっているので、★2次関数の標準形y=a(x-p)^2+qに
代入します。

0=a(0-1)^2-2
0=a-2
a=2

ということで、Dの方程式はy=2(x-1)^2-2となります。
このままでは解答の形式に合わないので、展開してまとめます。

y=2(x-1)^2-2
 =2(x^2-2x+1)-2
 =2x^2-4x+2-2
 =2x^2-4x

よって、[ニ]=2,[ヌ]=4


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆13 「囲まれた部分」の場所は連立でわかる

そして、このDとlで囲まれた図形のうち、x≧0の部分の面積Sを求めます。

★2つの関数の間の面積は、「上引く下」で積分というイメージです。

「囲まれた部分」がどこからどこまでなのかを知るには、交点の座標が必要です。
交点の座標を求めるには連立でしたね!
ということで、Dとlの式を連立して解きます。

2x^2-4x=(-9/4)x+1/4
8x^2-16x=-9x+1
8x^2-7x-1=0
(8x+1)(x-1)=0

よって、Dとlの交点のx座標は、x=-1/8,1であることがわかります。
求める面積Sはx≧0の範囲の面積なので、0~1の区間で定積分をすれば
OK!ですね!


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆14 下に凸の放物線なら直線が上

Dは下に凸の放物線なので、「囲まれた部分」では、直線が上で放物線が下です。
つまり、Sを求めるための被積分関数は、

 (-9/4)x+1/4-(2x^2-4x)
=(-9/4)x+1/4-2x^2+4x
=-2x^2+(7/4)x+1/4

となります。

これを0~1の区間で定積分します。

S=∫[0~1]{-2x^2+(7/4)x+1/4}dx
 =[(-2/3)x^3+(7/8)x^2+(1/4)x][0~1]
 =-2/3+7/8+1/4
 =(-16+21+6)/24
 =11/24

よって、[ネノ]=11


========================================================================
今回取り上げた問題の解説は以上です。理解できましたか?
できた人もできなかった人も、ここでいったん、解説の目次に戻って、解答に
至るためにはどんなことを考えて、何を利用すれば良いのか見直してください。
各小見出しが手がかりとなって、進むべき道がよりはっきり見えるはずです。
========================================================================
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 今回の公式・定理など

★ 微分の計算y=x^nならば、y'=nx^(n-1)
★ 定数を微分すると0
★ 積分の計算方法:次数を1上げて、新しい次数で割る
★ 不定積分∫x^ndx={1/(n+1)}x^(n+1)+C
★ 定積分∫[a~b]x^ndx=[{1/(n+1)}x^(n+1)][a~b]
  ={1/(n+1)}b^(n+1)-{1/(n+1)}a^(n+1)
★ 3次関数は、x^3の係数がプラスなら右上がり
★ 極値をとるとき、y'=0
★ 直線の公式y-y1=m(x-x1)
★ 因数定理「xの整式にaを代入して式の値が0になるならば、その整式は
       x-aを因数にもつ」
★ 2次関数の標準形y=a(x-p)^2+q
★ 2つの関数の間の面積は、「上引く下」で定積分。区間は連立方程式の解

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 解答一覧

[ア]=3,[イ]=2,[ウ]=0,[エ]=1,[オ]=3,[カキ]=-1,[ク]=1,
[ケ]=3,[コ]=3,[サ]=2,[シ]=3,[ス]=1,[セソ]=-1,[タ]=2,
[チツ]=-9,[テ]=4,[ト]=1,[ナ]=4,[ニ]=2,[ヌ]=4,
[ネノ]=11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 編集後記

ということで、数学2B2014年第2問でした。

今回も丁寧な誘導がありました。特に論理の飛躍と感じられる部分はないし、
考え方はわかりやすかったと思います。
ただ、やることの分量自体は多めだったので、短時間で終わらせるのが難し
かったかも知れませんね。


解説の間違い・不足や、何かリクエストなどありましたら、何でもいいので、
お気軽にご連絡ください。

お寄せいただいたメッセージは、今後のメルマガや号外、アプリなどに反映
させていただく場合があります。個人が特定できる形での利用はしませんが、
完全に非公開をご希望の方は、件名などに(非公開希望)との言葉を入れて
メールしてください。よろしくお願いいたします。

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
  【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
   発行システム:『まぐまぐ!』 http://www.mag2.com/
   購読解除はマイページより行えます。
   https://mypage.mag2.com/Welcome.do(PC・スマートフォン用)
   https://mypage.mobile.mag2.com/Welcome.do(携帯端末用)
------------------------------------------------------------------------
 発行者 AE個別学習室代表/プロ家庭教師/翻訳者 江間淳(EMA Atsushi)
 mm@a-ema.com http://www.a-ema.com/k/ https://twitter.com/A_EMA_RYU
------------------------------------------------------------------------

-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します。生徒募集中です!

プロ家庭教師の江間です。     AE個別学習室
http://www.a-ema.com/k/      http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

この記事へのコメント