2019年センター数学2B第1問[1] ⑦三角関数の合成

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[コ],[サ],[シ]に関して、三角関数の合成について解説します。


ここまでの記事→①[アイ]まで②[エ]まで③2倍角の公式④[カ]まで⑤サインの2倍角⑥[ケ]まで


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2Bより

第1問

[1] 関数f(θ)=3(sinθ)^2+4sinθcosθ-(cosθ)^2を考える。

(1) f(0)=[アイ],f(π/3)=[ウ]+√[エ]である。

(2) 2倍角の公式を用いて計算すると、(cosθ)^2=(cos2θ+[オ])/[カ]
となる。さらに、sin2θ,cos2θを用いてf(θ)を表すと

  f(θ)=[キ]sin2θ-[ク]cos2θ+[ケ]……{1}

となる。

(3) θが0≦θ≦πの範囲を動くとき、関数f(θ)のとり得る最大の整数の値mと
そのときのθの値を求めよう。
 三角関数の合成を用いると、{1}は

  f(θ)=[コ]√[サ]sin(2θ-π/[シ])+[ケ]

と変形できる。したがって、m=[ス]である。

 また、0≦θ≦πにおいて、f(θ)=[ス]となるθの値は、小さい順に
π/[セ],π/[ソ]である。


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■ 解説

次は(3)です。

{1}の式を「三角関数の合成」を用いて変形します。⑥[ケ]までで、

f(θ)=2sin2θ-2cos2θ+1

このように表したので、これを更に合成をして変形します。
三角関数の合成は、加法定理の応用で、

★ a・sinx+b・cosx={√(a^2+b^2)}sin(x+α)

このように表すことができます。
{√(a^2+b^2)}とαは関連性があり、横にa,縦にbの直角三角形のときの角度
がαです。


つづく


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