2019年センター数学2B第1問[2] ①分数の指数

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第1問[2]に関して、分数の指数について解説します。


2019年数学2B前回の記事→第1問[1]


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2Bより

第1問

[ 2 ] 連立方程式

  {log[2](x+2)-2log[4](y+3)=-1 ……{2}
  {(1/3)^y-11(1/3)^(x+1)+6=0 ……{3}

を満たすx,yを求めよう。

 真数の条件により、x,yのとり得る値の範囲は[タ]である。[タ]に当てはまる
ものを、次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。ただし、対数log[a]bに対し、
aを底といい、bを真数という。

{0} x>0,y>0  {1} x>2,y>3  {2} x>-2,y>-3
{3} x<0,y<0  {4} x<2,y<3  {5} x<-2,y<-3

 底の変換公式により

  log[4](y+3)={log[2](y+3)}/[チ]

である。よって、{2}から

  y=[ツ]x+[テ] ……{4}

が得られる。

 次に、t=(1/3)^xとおき、{4}を用いて{3}をtの方程式に書き直すと

  t^2-[トナ]t+[ニヌ]=0 ……{5}

が得られる。また、xが[タ]におけるxの範囲を動くとき、tのとり得る値の
範囲は

  [ネ]<t<[ノ] ……{6}

である。

 {6}の範囲で方程式{5}を解くと、t=[ハ]となる。したがって、連立方程式
{2},{3}を満たす実数x,yの値は

  x=log[3]([ヒ]/[フ]),y=log[3]([ヘ]/[ホ])

であることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。


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■ 解説

今回の問題に入る前に、いくつか指数・対数について解説しておきます。
最初は、分数の指数について。

例えば、2^(1/2)を指数を使わず表すとどうなるでしょうか?

2^(1/2)=2×1/2=1でしょうか?
違います。1/2乗であって、×1/2ではありません。

2^(1/2)=1/2でしょうか?
違います。1/2乗は逆数ではありません。

2^(1/2)を2乗するとどうなるでしょうか?
1/2乗を2乗するのだから・・・2の1乗になってしまいます。

つまり、2^(1/2)は、「2乗したら2になる数」です。
これは、√2ですね。

1/3乗なら3乗根、1/4乗なら4乗根というように、分数の指数は、
累乗根を表します。


次の記事→②指数・対数の関係


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