ここまでの記事→①分数の指数、②指数・対数の関係、③対数の計算方法
■ 問題
2019年大学入試センター試験数学2Bより
第1問
[ 2 ] 連立方程式
{log[2](x+2)-2log[4](y+3)=-1 ……{2}
{(1/3)^y-11(1/3)^(x+1)+6=0 ……{3}
を満たすx,yを求めよう。
真数の条件により、x,yのとり得る値の範囲は[タ]である。[タ]に当てはまる
ものを、次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。ただし、対数log[a]bに対し、
aを底といい、bを真数という。
{0} x>0,y>0 {1} x>2,y>3 {2} x>-2,y>-3
{3} x<0,y<0 {4} x<2,y<3 {5} x<-2,y<-3
底の変換公式により
log[4](y+3)={log[2](y+3)}/[チ]
である。よって、{2}から
y=[ツ]x+[テ] ……{4}
が得られる。
次に、t=(1/3)^xとおき、{4}を用いて{3}をtの方程式に書き直すと
t^2-[トナ]t+[ニヌ]=0 ……{5}
が得られる。また、xが[タ]におけるxの範囲を動くとき、tのとり得る値の
範囲は
[ネ]<t<[ノ] ……{6}
である。
{6}の範囲で方程式{5}を解くと、t=[ハ]となる。したがって、連立方程式
{2},{3}を満たす実数x,yの値は
x=log[3]([ヒ]/[フ]),y=log[3]([ヘ]/[ホ])
であることがわかる。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説
では今回の問題です。
{log[2](x+2)-2log[4](y+3)=-1 ……{2}
{(1/3)^y-11(1/3)^(x+1)+6=0 ……{3}
このような連立方程式のx,yを求める問題です。
指数・対数に慣れていない人にとっては、途方もなく難しく見えると思いますが、
大学入試レベルとしては、普通程度の難易度の式です。
落ち着いてひとつひとつわかることを確認して、式や値を求めていきましょう!
最初の設問では、真数条件より、x,yの値の範囲を表します。
指数対数の底が正の数ならば、その真数も正の数になる。というのが真数条件です。
つまり、もとの数が正の数ならば、それを何乗しても正の数にしかならない。
ということですね。
ということは、log[2](x+2)のx+2は正の数、つまり、x+2>0である
ことがわかります。これを解くと、
x>-2
が得られます。
log[4](y+3)も同様にして、y+3>0よりy>-3ですね。
ということは、x>-2,y>-3だから、[タ]=2ですね!
つづく
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