ここまでの記事→①分数の指数、②指数・対数の関係、③対数の計算方法
■ 問題
2019年大学入試センター試験数学２Ｂより
第１問
[ 2 ] 連立方程式
{ｌｏｇ[2](ｘ＋２)－２ｌｏｇ[4](ｙ＋３)＝－１ ……{2}
{(１／３)^y－１１(１／３)^(x+1)＋６＝０ ……{3}
を満たすｘ，ｙを求めよう。
真数の条件により、ｘ，ｙのとり得る値の範囲は[タ]である。[タ]に当てはまる
ものを、次の{0}～{5}のうちから一つ選べ。ただし、対数ｌｏｇ[a]ｂに対し、
ａを底といい、ｂを真数という。
{0} ｘ＞０，ｙ＞０ {1} ｘ＞２，ｙ＞３ {2} ｘ＞－２，ｙ＞－３
{3} ｘ＜０，ｙ＜０ {4} ｘ＜２，ｙ＜３ {5} ｘ＜－２，ｙ＜－３
底の変換公式により
ｌｏｇ[4](ｙ＋３)＝{ｌｏｇ[2](ｙ＋３)}／[チ]
である。よって、{2}から
ｙ＝[ツ]ｘ＋[テ] ……{4}
が得られる。
次に、ｔ＝(１／３)^xとおき、{4}を用いて{3}をｔの方程式に書き直すと
ｔ^2－[トナ]ｔ＋[ニヌ]＝０ ……{5}
が得られる。また、ｘが[タ]におけるｘの範囲を動くとき、ｔのとり得る値の
範囲は
[ネ]＜ｔ＜[ノ] ……{6}
である。
{6}の範囲で方程式{5}を解くと、ｔ＝[ハ]となる。したがって、連立方程式
{2}，{3}を満たす実数ｘ，ｙの値は
ｘ＝ｌｏｇ[3]([ヒ]／[フ])，ｙ＝ｌｏｇ[3]([ヘ]／[ホ])
であることがわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説
では今回の問題です。
{ｌｏｇ[2](ｘ＋２)－２ｌｏｇ[4](ｙ＋３)＝－１ ……{2}
{(１／３)^y－１１(１／３)^(x+1)＋６＝０ ……{3}
このような連立方程式のｘ，ｙを求める問題です。
指数・対数に慣れていない人にとっては、途方もなく難しく見えると思いますが、
大学入試レベルとしては、普通程度の難易度の式です。
落ち着いてひとつひとつわかることを確認して、式や値を求めていきましょう！
最初の設問では、真数条件より、ｘ，ｙの値の範囲を表します。
指数対数の底が正の数ならば、その真数も正の数になる。というのが真数条件です。
つまり、もとの数が正の数ならば、それを何乗しても正の数にしかならない。
ということですね。
ということは、ｌｏｇ[2](ｘ＋２)のｘ＋２は正の数、つまり、ｘ＋２＞０である
ことがわかります。これを解くと、
ｘ＞－２
が得られます。
ｌｏｇ[4](ｙ＋３)も同様にして、ｙ＋３＞０よりｙ＞－３ですね。
ということは、ｘ＞－２，ｙ＞－３だから、[タ]＝２ですね！
つづく
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