2019年センター数学2B第1問[2] ⑩[ホ]まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の[ホ]までを解説します。


ここまでの記事→①分数の指数②指数・対数の関係③対数の計算方法④[タ]まで⑤[チ]まで⑥[テ]まで⑦[ニヌ]まで⑧[ノ]まで⑨[ハ]まで


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2Bより

第1問

[ 2 ] 連立方程式

  {log[2](x+2)-2log[4](y+3)=-1 ……{2}
  {(1/3)^y-11(1/3)^(x+1)+6=0 ……{3}

を満たすx,yを求めよう。

 真数の条件により、x,yのとり得る値の範囲は[タ]である。[タ]に当てはまる
ものを、次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。ただし、対数log[a]bに対し、
aを底といい、bを真数という。

{0} x>0,y>0  {1} x>2,y>3  {2} x>-2,y>-3
{3} x<0,y<0  {4} x<2,y<3  {5} x<-2,y<-3

 底の変換公式により

  log[4](y+3)={log[2](y+3)}/[チ]

である。よって、{2}から

  y=[ツ]x+[テ] ……{4}

が得られる。

 次に、t=(1/3)^xとおき、{4}を用いて{3}をtの方程式に書き直すと

  t^2-[トナ]t+[ニヌ]=0 ……{5}

が得られる。また、xが[タ]におけるxの範囲を動くとき、tのとり得る値の
範囲は

  [ネ]<t<[ノ] ……{6}

である。

 {6}の範囲で方程式{5}を解くと、t=[ハ]となる。したがって、連立方程式
{2},{3}を満たす実数x,yの値は

  x=log[3]([ヒ]/[フ]),y=log[3]([ヘ]/[ホ])

であることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。


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■ 解説

⑨[ハ]までで、t=2とわかったので、x,yの値も決まります。

t=(1/3)^xなので、t=2を代入すれば、2=(1/3)^xですね。
解答の形式では、底は3なので、3の累乗の形に書き直すと、

2=3^(-x)

となります。これを指数対数の関係に従って変形すれば、

-x=log[3]2
 x=-log[3]2
 x=log[3](1/2)          ←2^(-1)=1/2

そして、⑥[テ]までより、y=2x+1なので、

y=2log[3](1/2)+1
 =log[3]{(1/2)^2}+log[3]3  ←1=log[3]3
 =log[3]{(1/4)・3}        ←対数の和は真数の積
 =log[3](3/4)

よって、[ヒ]=1,[フ]=2,[ヘ]=3,[ホ]=4


⑪解答一覧と公式・解き方


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