2019年センター数学1A第1問[3] ②[テ]まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学1A第1問[3]の[テ]までを解説します。


前回の記事→①問題の確認


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学1Aより

第1問

[3] aとbはともに正の実数とする。xの2次関数

  y=x^2+(2a-b)x+a^2+1

のグラフをGとする。

(1) グラフGの頂点の座標は

  (b/[チ]-a,-b^2/[ツ]+ab+[テ])

である。

(2) グラフGが点(-1,6)を通るとき、bのとり得る値の最大値は[ト]であり、
そのときのaの値は[ナ]である。

 b=[ト],a=[ナ]のとき、グラフGは2次関数y=x^2のグラフをx軸方向に
[ニ]/[ヌ],y軸方向に[ネノ]/[ハ]だけ平行移動したものである。


※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。



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■ 解説

今回の問題は少し難しい式ですが、基本的な関数と同様です。
落ち着いてひとつひとつやってみましょう!

まずは1行空けて、xの係数の半分を入れて2乗の式を書く。

y=x^2+(2a-b)x+a^2+1
 =
 ={x+(2a-b)/2}^2

次に真ん中の行に展開した式を書く。

y=x^2+(2a-b)x+a^2+1
 =x^2+(2a-b)x+{(2a-b)/2}^2
 ={x+(2a-b)/2}^2

カッコの2乗を作るために追加した項を差し引き、残りの項も書く。

y=x^2+(2a-b)x+a^2+1
 =x^2+(2a-b)x+{(2a-b)/2}^2-{(2a-b)/2}^2+a^2+1
 ={x+(2a-b)/2}^2

3行目に、カッコの2乗を作るために使わなかった行を書き足す。

y=x^2+(2a-b)x+a^2+1
 =x^2+(2a-b)x+{(2a-b)/2}^2-{(2a-b)/2}^2+a^2+1
 ={x+(2a-b)/2}^2-{(2a-b)/2}^2+a^2+1

定数項を計算し、できるだけ簡単にする。

y=x^2+(2a-b)x+a^2+1
 =x^2+(2a-b)x+{(2a-b)/2}^2-{(2a-b)/2}^2+a^2+1
 ={x+(2a-b)/2}^2-{(2a-b)/2}^2+a^2+1
 ={x+(2a-b)/2}^2-(4a^2-4ab+b^2)/4+a^2+1
 ={x+(2a-b)/2}^2-a^2+ab-b^2/4+a^2+1
 =(x+a-b/2)^2+ab-b^2/4+1

よって頂点の座標は、(-a+b/2,ab-b^2/4+1)

[チ]=2,[ツ]=4,[テ]=1


つづく


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