2019年センター数学2B第2問 ①導関数

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第2問に関して導関数の基本を解説します。


前回の記事→数学1A第1問[3]


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2B第2問より

第2問

 p,qを実数とし、関数f(x)=x^3+px^2+qxはx=-1で極値2を
とるとする。また、座標平面上の曲線y=f(x)をC,放物線y=-kx^2をD,
放物線D上の点(a,-ka^2)をAとする。ただし、k>0,a>0である。

(1) 関数f(x)がx=-1で極値をとるので、f'(-1)=[ア]である。これと
f(-1)=2より、p=[イ],q=[ウエ]である。よって、f(x)はx=[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Aにおける放物線Dの接線をlとする。Dとlおよびx軸で囲まれた図形の
面積Sをaとkを用いて表そう。

 lの方程式は

  y=[クケ]kax+ka^[コ] ……{1}

と表せる。lとx軸の交点のx座標は[サ]/[シ]であり、Dとx軸および直線
x=aで囲まれた図形の面積は(k/[ス])a^[セ]である。よって、
S=(k/[ソタ])a^[セ]である。

(3) さらに、点Aが曲線C上にあり、かつ(2)の接線lがCにも接するとする。
このときの(2)のSの値を求めよう。

 AがC上にあるので、k=[チ]/[ツ]-[テ]である。

 lとCの接点のx座標をbとすると、lの方程式はbを用いて

  y=[ト](b^2-[ナ])x-[ニ]b^2 ……{2}

と表される。{2}の右辺をg(x)とおくと

  f(x)-g(x)=(x-[ヌ])^2・(x+[ネ]b)

と因数分解されるので、a=-[ネ]bとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、a^2=[ノハ]/[ヒ]である。

 したがって、求めるSの値は[フ]/[ヘホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。



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■ 解説

2019年も数学2B第2問は、微分積分の問題でした。

まずは、微分に関する基本的な用語と方法について確認しておきましょう!

まず、微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算
できます。また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。

★ y=x^nならば、y'=nx^(n-1)

この微分してできた関数y'が導関数ですね。

また、★定数を微分すると0になります。

そして、この導関数は、接線の傾きを表します。
高校数学でよく出てくる2次関数や3次関数などは、曲線です。
曲線は接線を引いてみると、場所によってその傾きが異なります。
この傾きの変化を表した式が「導関数」です。

つまり、ある特定の場所の接線の傾きを求めたかったら、導関数にその点の
x座標を代入すればよいのです。
そして、そのy'の値を「微分係数」といいます。

さらに、導関数は接線の傾きを表すので、接線について考えるときはまず微分!
とイメージしておくとよいです。


次の記事→②極値


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