前回の記事→数学１Ａ第１問[3]
■ 問題
2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第２問より
第２問
ｐ，ｑを実数とし、関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘはｘ＝－１で極値２を
とるとする。また、座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ，放物線ｙ＝－ｋｘ^2をＤ，
放物線Ｄ上の点(ａ，－ｋａ^2)をＡとする。ただし、ｋ＞０，ａ＞０である。
(1) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝－１で極値をとるので、ｆ'(－１)＝[ア]である。これと
ｆ(－１)＝２より、ｐ＝[イ]，ｑ＝[ウエ]である。よって、ｆ(ｘ)はｘ＝[オ]で
極小値[カキ]をとる。
(2) 点Ａにおける放物線Ｄの接線をｌとする。Ｄとｌおよびｘ軸で囲まれた図形の
面積Ｓをａとｋを用いて表そう。
ｌの方程式は
ｙ＝[クケ]ｋａｘ＋ｋａ^[コ] ……{1}
と表せる。ｌとｘ軸の交点のｘ座標は[サ]／[シ]であり、Ｄとｘ軸および直線
ｘ＝ａで囲まれた図形の面積は(ｋ／[ス])ａ^[セ]である。よって、
Ｓ＝(ｋ／[ソタ])ａ^[セ]である。
(3) さらに、点Ａが曲線Ｃ上にあり、かつ(2)の接線ｌがＣにも接するとする。
このときの(2)のＳの値を求めよう。
ＡがＣ上にあるので、ｋ＝[チ]／[ツ]－[テ]である。
ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌの方程式はｂを用いて
ｙ＝[ト](ｂ^2－[ナ])ｘ－[ニ]ｂ^2 ……{2}
と表される。{2}の右辺をｇ(ｘ)とおくと
ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝(ｘ－[ヌ])^2・(ｘ＋[ネ]ｂ)
と因数分解されるので、ａ＝－[ネ]ｂとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、ａ^2＝[ノハ]／[ヒ]である。
したがって、求めるＳの値は[フ]／[ヘホ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説
2019年も数学２Ｂ第２問は、微分積分の問題でした。
まずは、微分に関する基本的な用語と方法について確認しておきましょう！
まず、微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算
できます。また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。
★ ｙ＝ｘ^nならば、ｙ'＝ｎｘ^(n-1)
この微分してできた関数ｙ'が導関数ですね。
また、★定数を微分すると０になります。
そして、この導関数は、接線の傾きを表します。
高校数学でよく出てくる２次関数や３次関数などは、曲線です。
曲線は接線を引いてみると、場所によってその傾きが異なります。
この傾きの変化を表した式が「導関数」です。
つまり、ある特定の場所の接線の傾きを求めたかったら、導関数にその点の
ｘ座標を代入すればよいのです。
そして、そのｙ'の値を「微分係数」といいます。
さらに、導関数は接線の傾きを表すので、接線について考えるときはまず微分！
とイメージしておくとよいです。
次の記事→②極値
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