2019年センター数学2B第2問 ⑫[テ]まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第2問の[テ]までを解説します。


2019年数学2B第2問ここまでの記事→①導関数②極値③積分④[ア]まで⑤f'(x)の式⑥[ウエ]まで⑦[カキ]まで⑧[コ]まで⑨[シ]まで⑩[セ]まで⑪[ソタ]まで


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2B第2問より

第2問

 p,qを実数とし、関数f(x)=x^3+px^2+qxはx=-1で極値2を
とるとする。また、座標平面上の曲線y=f(x)をC,放物線y=-kx^2をD,
放物線D上の点(a,-ka^2)をAとする。ただし、k>0,a>0である。

(1) 関数f(x)がx=-1で極値をとるので、f'(-1)=[ア]である。これと
f(-1)=2より、p=[イ],q=[ウエ]である。よって、f(x)はx=[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Aにおける放物線Dの接線をlとする。Dとlおよびx軸で囲まれた図形の
面積Sをaとkを用いて表そう。

 lの方程式は

  y=[クケ]kax+ka^[コ] ……{1}

と表せる。lとx軸の交点のx座標は[サ]/[シ]であり、Dとx軸および直線
x=aで囲まれた図形の面積は(k/[ス])a^[セ]である。よって、
S=(k/[ソタ])a^[セ]である。

(3) さらに、点Aが曲線C上にあり、かつ(2)の接線lがCにも接するとする。
このときの(2)のSの値を求めよう。

 AがC上にあるので、k=[チ]/[ツ]-[テ]である。

 lとCの接点のx座標をbとすると、lの方程式はbを用いて

  y=[ト](b^2-[ナ])x-[ニ]b^2 ……{2}

と表される。{2}の右辺をg(x)とおくと

  f(x)-g(x)=(x-[ヌ])^2・(x+[ネ]b)

と因数分解されるので、a=-[ネ]bとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、a^2=[ノハ]/[ヒ]である。

 したがって、求めるSの値は[フ]/[ヘホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。



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■ 解説

次は(3)です。

「点Aが曲線C上にあり、かつ(2)の接線lがCにも接するとする。」

⑥[ウエ]までより、C:y=x^3-3xであることがわかっています。

この3次関数と接線lが接するという条件のようです。

続いて「AがC上にある」と言っているので、Aの座標(a,-ka^2)をCの式に
代入して、

-ka^2=a^3-3a
   k=(a^3-3a)/(-a^2)
    =-a+3/a
    =3/a-a

よって、[チ]=3,[ツ]=a,[テ]=a


次の記事→⑬[ニ]まで


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