2019年センター数学2B第2問 ⑯[ヒ]まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第2問の[ヒ]までを解説します。


2019年数学2B第2問ここまでの記事→①導関数②極値③積分④[ア]まで⑤f'(x)の式⑥[ウエ]まで⑦[カキ]まで⑧[コ]まで⑨[シ]まで⑩[セ]まで⑪[ソタ]まで⑫[テ]まで⑬[ニ]まで⑭[ネ]まで⑮a=-[ネ]bの理由


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2B第2問より

第2問

 p,qを実数とし、関数f(x)=x^3+px^2+qxはx=-1で極値2を
とるとする。また、座標平面上の曲線y=f(x)をC,放物線y=-kx^2をD,
放物線D上の点(a,-ka^2)をAとする。ただし、k>0,a>0である。

(1) 関数f(x)がx=-1で極値をとるので、f'(-1)=[ア]である。これと
f(-1)=2より、p=[イ],q=[ウエ]である。よって、f(x)はx=[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Aにおける放物線Dの接線をlとする。Dとlおよびx軸で囲まれた図形の
面積Sをaとkを用いて表そう。

 lの方程式は

  y=[クケ]kax+ka^[コ] ……{1}

と表せる。lとx軸の交点のx座標は[サ]/[シ]であり、Dとx軸および直線
x=aで囲まれた図形の面積は(k/[ス])a^[セ]である。よって、
S=(k/[ソタ])a^[セ]である。

(3) さらに、点Aが曲線C上にあり、かつ(2)の接線lがCにも接するとする。
このときの(2)のSの値を求めよう。

 AがC上にあるので、k=[チ]/[ツ]-[テ]である。

 lとCの接点のx座標をbとすると、lの方程式はbを用いて

  y=[ト](b^2-[ナ])x-[ニ]b^2 ……{2}

と表される。{2}の右辺をg(x)とおくと

  f(x)-g(x)=(x-[ヌ])^2・(x+[ネ]b)

と因数分解されるので、a=-[ネ]bとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、a^2=[ノハ]/[ヒ]である。

 したがって、求めるSの値は[フ]/[ヘホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。



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■ 解説

lはCの接線でもあり、Dの接線でもあります。

ということは、Cから求めた接線の式と、Dから求めた接線の式は一致するはず
です。

ここでは、それらの傾きを比較することで、a^2の値とSの値を求めよう!という
考え方です。

⑧[コ]までより、l:y=-2kax+ka^2でしたね。
さらに、⑬[ニ]までより、l:y=3(b^2-1)x-2b^3です。

これらは共通の接線なので、傾きは等しいに決まっています。ならばイコール!
と考えて、

-2ka=3(b^2-1)

文字がたくさんありますが、ここで、⑮a=-[ネ]bの理由が活きてくるわけです。
a=-2bでしたね。aで表したいので、bについて解くと、b=-a/2です。
⑫[テ]までより、k=3/a-aだったので、

-2(3/a-a)a=3{(-a/2)^2-1}
-2(3-a^2)=3(a^2/4-1)
-8(3-a^2)=3a^2-12
-24+8a^2=3a^2-12
    5a^2=12
     a^2=12/5

よって、[ノハ]=12,[ヒ]=5


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