2019年センター数学1A第2問[1] ⑧cos∠DBC

この記事では、2019年大学入試センター試験数学1A第2問[1]のcos∠DBCについて解説します。


数学1A第1問[3]
数学2B第2問

2019年数学1A第2問[1]ここまでの記事→①余弦定理②[エ]まで③[キ]まで④[ケ]まで⑤180°-θの公式⑥sin∠CAD⑦[コ]まで



■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第2問

[1] △ABCにおいて、AB=3,BC=4,AC=2とする。
次の[エ]には、下の{0}~{2}のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 cos∠BAC=[アイ]/[ウ]であり、∠BACは[エ]である。また、
sin∠BAC=√[オカ]/[キ]である。

{0} 鋭角  {1} 直角  {2} 鈍角


 線分ACの垂直二等分線と直線ABの交点をDとする。

cos∠CAD=[ク]/[ケ]であるから、AD=[コ]であり、△DBCの面積は
([サ]√[シス])/[セ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。



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■ 解説

そして最後は△DBCの面積です。

まずは△DBCについてわかっていることを確認してみましょう!

⑦[コ]までで、AD=4がわかったので、BD=BA+AD=3+4=7とわかります。

BCは問題文最初にあるように、BC=4です。

△DBCの辺や角は、今のところこの2つしかわかっていないようです。
面積の公式は★S=(1/2)bc・sinAなので、2辺とその挟む角が必要です。

「2辺」はBDとBCで良いとして、あとは∠DBCが必要ですね!

△DBCと見ると、2辺しかわかっていませんが・・・

△ABCと見れば、3辺がわかっていますね!∠DBCと∠ABCは共通です。
ならば、余弦定理でcos∠DBCを求めることができますね!

      AC^2=AB^2+BC^2-2・AB・BC・cos∠DBC
       2^2=3^2+4^2-2×3×4×cos∠DBC
        4=9+16-24cos∠DBC
24cos∠DBC=25-4
  cos∠DBC=21/24=7/8


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