2019年センター数学2B第3問 ①数列の公式

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第3問に関して、数列の公式について解説します。

数学1A第2問[2]
数学2B第2問



■ 問題

2019年センター試験数2Bより

第3問

 初項が3,公比が4の等比数列の初項から第n項までの和をSnとする。また、
数列{Tn}は、初項が-1であり、{Tn}の階差数列が数列{Sn}であるような数列と
する。

(1) S2=[アイ],T2=[ウ]である。

(2) {Sn}と{Tn}の一般項は、それぞれ

  Sn=[エ]^[オ]-[カ]
  Tn=([キ]^[ク])/[ケ]-n-[コ]/[サ]

である。ただし、[オ]と[ク]については、当てはまるものを、次の{0}~{4}のうち
から一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

{0} n-1  {1} n  {2} n+1  {3} n+2  {4} n+3

(3) 数列{an}は、初項が-3であり、漸化式

  nan+1=4(n+1)an+8Tn (n=1,2,3,…)

を満たすとする。{an}の一般項を求めよう。

 そのために、bn=(an+2Tn)/nにより定められる数列{bn}を考える。{bn}
の初項は[シス]である。

 {Tn}は漸化式

  Tn+1=[セ]Tn+[ソ]n+[タ] (n=1,2,3,…)

を満たすから、{bn}は漸化式

  bn+1=[チ]bn+[ツ] (n=1,2,3,…)

を満たすことがわかる。よって、{bn}の一般項は

  bn=[テト]・[チ]^[ナ]-[ニ]

である。ただし、[ナ]については、当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから
一つ選べ。

{0} n-1  {1} n  {2} n+1  {3} n+2  {4} n+3

 したがって、{Tn},{bn}の一般項から{an}の一般項を求めると

  an={[ヌ]([ネ]n+[ノ])[チ]^[ナ]+[ハ]}/[ヒ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。



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■ 解説

2019年も、数学2B第3問は、数列についての問題でした。
まずは、数列に関する基本的な用語と公式について確認しておきましょう!
「そんなの知ってるよ!」という人は、ここは飛ばしてもらってもOKです。

初項a・・・数列の最初の項
末項l・・・数列の最後の項→結局n項目になることが多い
公差d・・・等差数列の2項間の差→次の項にいく度に公差の値を足す
公比r・・・等比数列の2項間の比→次の項にいく度に公比の値を掛ける
一般項an・・・数列を一般的に数式で表したもの→n項目の式
和Sn・・・初項から末項(an)までの合計
等差数列・・・次の項にいく度に一定の数を足す数列
等比数列・・・次の項にいく度に一定の数を掛ける数列

まずは数列の基本的な用語をズラッと書いてみました。
今回の問題では使わないものもありますが、大学受験生としては全部基本的な
用語です。あやしいものがあった人は、まずはこの説明を覚えてください。
定義や意味をしっかり理解することが、思考力の基礎になるのです!

そして、等差数列と等比数列の式は以下のようになります。

等差数列
一般項an=a+(n-1)d=l(末項)
和Sn=n(a+l)/2=n{2a+(n-1)d}/2

等比数列
一般項an=ar^(n-1)
和Sn={a(r^n-1)}/(r-1)={a(1-r^n)}/(1-r)


つづく


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