数学１Ａ第２問[2]
数学２Ｂ第２問
ここまでの記事→①数列の公式、②[アイ]、③[アイ]の別解、④[ウ]、⑤[カ]、⑥[サ]、⑦[シス]、⑧Ｔnの式、⑨[タ]
■ 問題
2019年センター試験数２Ｂより
第３問
初項が３，公比が４の等比数列の初項から第ｎ項までの和をＳnとする。また、
数列{Ｔn}は、初項が－１であり、{Ｔn}の階差数列が数列{Ｓn}であるような数列と
する。
(1) Ｓ2＝[アイ]，Ｔ2＝[ウ]である。
(2) {Ｓn}と{Ｔn}の一般項は、それぞれ
Ｓn＝[エ]^[オ]－[カ]
Ｔn＝([キ]^[ク])／[ケ]－ｎ－[コ]／[サ]
である。ただし、[オ]と[ク]については、当てはまるものを、次の{0}～{4}のうち
から一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
{0} ｎ－１ {1} ｎ {2} ｎ＋１ {3} ｎ＋２ {4} ｎ＋３
(3) 数列{ａn}は、初項が－３であり、漸化式
ｎａn+1＝４(ｎ＋１)ａn＋８Ｔn (ｎ＝１，２，３，…)
を満たすとする。{ａn}の一般項を求めよう。
そのために、ｂn＝(ａn＋２Ｔn)／ｎにより定められる数列{ｂn}を考える。{ｂn}
の初項は[シス]である。
{Ｔn}は漸化式
Ｔn+1＝[セ]Ｔn＋[ソ]ｎ＋[タ] (ｎ＝１，２，３，…)
を満たすから、{ｂn}は漸化式
ｂn+1＝[チ]ｂn＋[ツ] (ｎ＝１，２，３，…)
を満たすことがわかる。よって、{ｂn}の一般項は
ｂn＝[テト]・[チ]^[ナ]－[ニ]
である。ただし、[ナ]については、当てはまるものを、次の{0}～{4}のうちから
一つ選べ。
{0} ｎ－１ {1} ｎ {2} ｎ＋１ {3} ｎ＋２ {4} ｎ＋３
したがって、{Ｔn}，{ｂn}の一般項から{ａn}の一般項を求めると
ａn＝{[ヌ]([ネ]ｎ＋[ノ])[チ]^[ナ]＋[ハ]}／[ヒ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
一般項ｎ^2の初項から第ｎ項までの数列の和はΣ[k=1～n]ｋ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説
次はｂnの漸化式を作ります。
問題文で、ｂn＝(ａn＋２Ｔn)／ｎと定められています。
これをもとに、ｂn+1とｂnの関係を表す式を作りたい。というわけです。
ここで、ここまででわかっている式を整理しておきましょう。
ｎａn+1＝４(ｎ＋１)ａn＋８Ｔn
Ｔn+1＝４Ｔn＋３ｎ＋３
ａnとＴnはそれぞれ、このような漸化式で表されます。
これらの式を組み合わせれば、ｂnの漸化式も表すことができるはずですね！
ｎ項目とｎ＋１項目の関係を表すのが漸化式なので、まずはｂn+1を表して
みましょう！
ｂn＝(ａn＋２Ｔn)／ｎにｎ＝ｎ＋１を代入して、
ｂn+1＝(ａn+1＋２Ｔn+1)／(ｎ＋１)
このような式を作ることができますね。
これを使って何ができるでしょうか？
次の記事→⑪[ツ]まで
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