本日配信のメルマガ。2018年センター数学1A第4問 整数の性質

本日配信のメルマガでは、2018年大学入試センター試験数学1A第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第4問

(1) 144を素因数分解すると

   144=2^[ア]×[イ]^[ウ]

であり、144の正の約数の個数は[エオ]個である。

(2) 不定方程式

   144x-7y=1

の整数解x,yの中で、xの絶対値が最小になるのは

   x=[カ],y=[キク]

であり、すべての整数解は、kを整数として

   x=[ケ]k+[カ],y=[コサシ]k+[キク]

と表される。

(3) 144の倍数で、7で割ったら余りが1となる自然数のうち、正の約数の
個数が18個で最小のものは144×[ス]であり、正の約数の個数が30個で
ある最小のものは144×[セソ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
 ◆2 素因数分解は素数で割っていく
 ◆3 約数は割れる数

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 素因数分解は素数で割っていく

では今回の問題を確認していきましょう。

(1) 144を素因数分解すると

   144=2^[ア]×[イ]^[ウ]

ここまでは高校入試基本レベルですね。

素因数分解は、中学の平方根をやるために必要なので、このメルマガを読んでいる
(大学受験を考えている)人ならば、全員わかるはずです。
これがわからなかったらさすがにマズイです。

一応簡単に説明すると、整数を素数の積の形で表すのが「素因数分解」ですね。
そのために、もとの整数を次々と素数で割っていきます。

 2)144
  ――――
 2) 72
  ――――
 2) 36
  ――――
 2) 18
  ――――
 3)  9
  ――――
     3

このようになるので、144=2^4×3^2

よって、[ア],[イ],[ウ]=4,3,2


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 ◆3 約数は割れる数

そして、144の正の約数の個数を聞いています。

約数の個数は、素因数分解を活用して、簡単に求めることができます。
約数は「割りきれる数」であることを頭に入れながら読んでみてください。

144=2^4×3^2なので、144は、2を4回、3を2回掛けたものです。

つまり、144は2では4回割ることができ、3では2回割ることができます。

ということは、144は2に関しては2^0~2^4までの、5パターンで割ることが


つづく


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