本日配信のメルマガ。2018年センター数学2B第4問 ベクトル

本日配信のメルマガでは、2018年大学入試センター試験数学2B第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題

2018年大学入試センター試験数学2Bより

第4問

 aを0<a<1を満たす定数とする。三角形ABCを考え、辺ABを1:3に
内分する点をD,辺BCをa:(1-a)に内分する点をE,直線AEと直線CDの
交点をFとする。→FA=→p,→FB=→q,→FC=→rとおく。
   →
(1) AB=[ア]であり
    →    →     → →  →
   |AB|^2=|p|^2-[イ]p・q+|q|^2 ……{1}

である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから
一つ選べ。
  → →    → →    → →     → →
{0} p+q  {1} p-q  {2} q-p  {3} -p-q

   →  → →
(2) FDをpとqを用いて表すと
    →        →       →
   FD=([ウ]/[エ])p+([オ]/[カ])q ……{2}

である。

           →   →  →   →
(3) s,tをそれぞれFD=sr,FE=tpとなる実数とする。sとtをaを
用いて表そう。
  →   →
 FD=srであるから、{2}により
   →    →    →
   q=[キク]p+[ケ]sr ……{3}
        →   →
である。また、FE=tpであるから
   →          →           →
   q={t/([コ]-[サ])}p-{[シ]/([コ]-[サ])}r ……{4}

である。{3}と{4}により

 s=[スセ]/[ソ]([コ]-[サ]),t=[タチ]([コ]-[サ])

である。

   →   →      →       → →
(4) |AB|=|BE|とする。|p|=1のとき、pとqの内積をaを用いて表そう。

 {1}により
    →       → →  →
   |AB|^2=1-[イ]p・q+|q|^2

である。また
    →
   |BE|^2=[ツ]([コ]-[サ])^2 → →  →
         +[テ]([コ]-[サ])p・q+|q|^2

である。したがって
   → →
   p・q=([トナ]-[ニ])/[ヌ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの足し算とかけ算
 ◆3 Fが中心のようなイメージ
 ◆4 →ABはAからBまでいく

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆3 Fが中心のようなイメージ

では、今回の問題です。
ぜひ図を描いて照らし合わせながら読んでいってみてください。

 aを0<a<1を満たす定数とする。三角形ABCを考え、辺ABを1:3に
内分する点をD,辺BCをa:(1-a)に内分する点をE,直線AEと直線CDの
交点をFとする。→FA=→p,→FB=→q,→FC=→rとおく。

まずはこのような設定です。

三角形ABCがあり、AB上にDが、BC上にEがあります。
AEとCDを引いて、その交点がFです。

参考図→http://www.a-ema.com/img/center2018math2b4a.png

このFが中心のようなイメージで、→FA=→p,→FB=→q,→FC=→r
とおいています。

どんな図なのか把握できましたか?


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 ◆4 →ABはAからBまでいく

最初の設問です。

   →
(1) AB=[ア]であり

ここだけ見て、「アレ?ABの長さなんて書いてないしわからない!無理!」
となってしまった人はいませんか?

次に少し複雑そうに見える式が書いてありますが、続きをしっかり読んでいき
ましょう!

    →    →     → →  →
   |AB|^2=|p|^2-[イ]p・q+|q|^2 ……{1}

である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから
一つ選べ。
  → →    → →    → →     → →
{0} p+q  {1} p-q  {2} q-p  {3} -p-q

[ア]は、この4つの選択肢から一つを選ぶ。という問題になっていたのです。
→ABは→pと→qで表すことができて、足すか引くか・・・


(以下略)


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