2019年センター数学2B第3問 ⑫Cnの式

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第3問のCnの式を解説します。

数学1A第2問[2]
数学2B第2問


ここまでの記事→①数列の公式②[アイ]③[アイ]の別解④[ウ]⑤[カ]⑥[サ]⑦[シス]⑧Tnの式⑨[タ]⑩[チ]に関する式⑪[ツ]


■ 問題

2019年センター試験数2Bより

第3問

 初項が3,公比が4の等比数列の初項から第n項までの和をSnとする。また、
数列{Tn}は、初項が-1であり、{Tn}の階差数列が数列{Sn}であるような数列と
する。

(1) S2=[アイ],T2=[ウ]である。

(2) {Sn}と{Tn}の一般項は、それぞれ

  Sn=[エ]^[オ]-[カ]
  Tn=([キ]^[ク])/[ケ]-n-[コ]/[サ]

である。ただし、[オ]と[ク]については、当てはまるものを、次の{0}~{4}のうち
から一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

{0} n-1  {1} n  {2} n+1  {3} n+2  {4} n+3

(3) 数列{an}は、初項が-3であり、漸化式

  nan+1=4(n+1)an+8Tn (n=1,2,3,…)

を満たすとする。{an}の一般項を求めよう。

 そのために、bn=(an+2Tn)/nにより定められる数列{bn}を考える。{bn}
の初項は[シス]である。

 {Tn}は漸化式

  Tn+1=[セ]Tn+[ソ]n+[タ] (n=1,2,3,…)

を満たすから、{bn}は漸化式

  bn+1=[チ]bn+[ツ] (n=1,2,3,…)

を満たすことがわかる。よって、{bn}の一般項は

  bn=[テト]・[チ]^[ナ]-[ニ]

である。ただし、[ナ]については、当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから
一つ選べ。

{0} n-1  {1} n  {2} n+1  {3} n+2  {4} n+3

 したがって、{Tn},{bn}の一般項から{an}の一般項を求めると

  an={[ヌ]([ネ]n+[ノ])[チ]^[ナ]+[ハ]}/[ヒ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。



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■ 解説

⑪[ツ]までで、bn+1=4bn+6がわかったので、bnの一般項を求めます。

n+1項目に行くためには、n項目に4を掛けて6を足すので、この数列は
等差数列と等比数列の複合のタイプです。そんなときは、

an+1-α=p(an-α)の形をつくり、等比数列に置き換えて一般項を求める。

という方法をとるのが一般的です。この場合はbnに関する数列なので、

bn+1-α=p(bn-α)ですね。これを移項して、括弧を外すと、

bn+1=p・bn-pα+αとなります。bn+1=4bn+6と比較すると、

p=4,-pα+α=6より、α=-2が得られます。
これらの値をbn+1-α=p(bn-α)に代入すると、

bn+1+2=4(bn+2)

つまり、bn+1=4bn+6はbn+1+2=4(bn+2)と書き換えることができる。
というわけです、

bn+2=cnとおけば、cn+1=4cnですね。
これは等比数列の漸化式になってしまいました。cnの公比は4です。


次の記事→⑬[ニ]


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