2019年センター数学1A第3問 ⑩最後まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学1A第3問の最後までを解説します。

数学1A第2問[2]
数学2B第3問


ここまでの解説→①1回目の操作②操作の仕方③[イ]まで④[エ]まで⑤[カキ]まで⑥(3)の表し方⑦[シスセ]まで⑧[ツテト]まで⑨[ヌネ]まで


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第3問

 赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており、白い袋には赤球1個と白球1個が
入っている。
 最初に、さいころ1個を投げて、3の倍数の目が出たら白い袋を選び、それ以外
の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球を1個取り出して、球の色を確認して
その袋に戻す。ここまでの操作を1回目の操作とする。2回目と3回目の操作では、
直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を1個取り出して、球の色を確認して
その袋に戻す。

(1) 1回目の操作で、赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は[ア]/[イ]であり、
白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は[ウ]/[エ]である。

(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は[オ]/[カキ]である。

(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率をpで表すと、2回目の操作で白球が
取り出される確率は([ク]/[ケ])p+1/3と表される。

よって、2回目の操作で白球が取り出される確率は[コサ]/[シスセ]である。

 同様に考えると、3回目の操作で白球が取り出される確率は[ソタチ]/[ツテト]
である。

(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき、その球を取り出した袋の
色が白である条件付き確率は[ナニ]/[ヌネ]である。

 また、3回目の操作で取り出した球が白球であったとき、はじめて白球が取り
出されたのが3回目の操作である条件付き確率は[ノハ]/[ヒフヘ]である。

※分数は(分子)/(分母)、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。



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■ 解説

最後の設問は、

「3回目の操作で取り出した球が白球であったとき、はじめて白球が取り
出されたのが3回目の操作である条件付き確率は[ノハ]/[ヒフヘ]である。」

です。
これも、ここまででわかっている値を利用して計算してみましょう!

まず、「3回目が白球の確率」は⑧[ツテト]までで求めたように、259/648です。
つまり、P(A)=259/648です。

「はじめて白球が取り出されたのが3回目」はつまり、赤→赤→白である事象です。
A∩Bは、「3回目が白かつ3回目ではじめて白」なので、つまりは、そのまま
赤→赤→白の確率です。

まず、1回目の操作で赤球が出る確率は、③[イ]まで④[エ]までより、
4/9+1/6=8/18+3/18=11/18

このときは赤い袋で操作が行われるので、赤球が出る確率は、2/3です。

さらに、3回目も赤い袋で操作が行われるので、白球が出る確率は1/3です。

これらは連続して起こるので、掛けて

(11/18)×(2/3)×(1/3)=22/162

つまり、P(A∩B)=22/162です。ならば、求める条件付き確率は、

PA(B)=(22/162)/(259/648)
    =88/259           ←分子と分母に648を掛けた

よって、[ノハ]=88,[ヒフヘ]=259


つづく


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