2019年センター数学2B第4問 ①ベクトルの絶対値

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2Bの第4問に関してベクトルの絶対値を解説します。

前の問題
数学1A第3問
数学2B第3問


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2Bより

第4問

 四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。四角形ABCDは、
辺ADと辺BCが平行で、AB=CD,∠ABC=∠BCDを満たすとする。
     →  →  →  →  →  →
さらに、OA=a,OB=b,OC=cとして
   →    →     →
  |a|=1,|b|=√3,|c|=√5
  → →   → →   → →
  a・b=1,b・c=3,a・c=0

であるとする。

(1) ∠AOC=[アイ]°により、三角形OACの面積は√[ウ]/[エ]である。
   →  →       →       →
(2) BA・BC=[オカ],|BA|=√[キ],|BC|=√[ク]であるから、
∠ABC=[ケコサ]°である。さらに、辺ADと辺BCが平行であるから、
                       →     →
∠BAD=∠ADC=[シス]°である。よって、AD=[セ]・BCであり
   →  →    →    →
  OD=a-[ソ]・b+[タ]・c

と表される。また、四角形ABCDの面積は([チ]√[ツ])/[テ]である。

(3) 三角形OACを底面とする三角錐BOACの体積Vを求めよう。
                      →  →  →  →
 3点O,A,Cの定める平面α上に、点HをBH⊥aとBH⊥cが成り立つ
       →
ようにとる。|BH|は三角錐BOACの高さである。Hはα上の点であるから、
          →    →   →
実数s,tを用いてOH=s・a+t・cの形に表される。
  →  →     →  →
 BH・a=[ト],BH・c=[ト]により、s=[ナ],t=[ニ]/[ヌ]である。
     →
よって、|BH|=√[ネ]/[ノ]が得られる。したがって、(1)により、
V=[ハ]/[ヒ]であることがわかる。

(4) (3)のVを用いると、四角錐OABCDの体積は[フ]Vと表せる。さらに、
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCの高さは√[ヘ]/[ホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。



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■ 解説

2019年も、数学2B第4問は、ベクトルについての問題でした。
まずは、ベクトルに関する基本的な用語と公式について確認しておきましょう!
「そんなの知ってるよ!」という人は、今回と次回は飛ばしてもらってもOKです。

ベクトルは大きさと向きの両方の情報を持った数量です。      →
2点A,Bがあるとき、AからBへ進むことをベクトルABといい、ABと
表します。

ABは、「Bの座標-Aの座標」で求めることができます。
 →                 →
|AB|は「ベクトルABの絶対値」で、ABの長さ(大きさ)を表します。

ベクトルは座標と同じような表現方法で、始点から終点までどのように動くかを
表すことができます。
                             →
例えば、AからBに行くには、右に1,上に2進むとすると、AB=(1,2)と
書くことができます。
     →
そして、|AB|は、三平方の定理で求めることができます。この例の場合は、
 →
|AB|=√(1^2+2^2)=√5ですね。


次の問題→②ベクトルの計算


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