2019年センター数学1A第4問 ⑤[ケコ]まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学1A第4問の[ケコ]までを解説します。


2019年数学1A第4問ここまでの記事→①特殊解を出す方法②[イウ]まで③ユークリッドの互除法のとき④[カキ]まで


数学1A第3問
数学2B第4問


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第4問

(1) 不定方程式

  49x-23y=1

の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のものは

  x=[ア],y=[イウ]

であり、すべての整数解は、kを整数として

  x=[エオ]k+[ア],y=[カキ]+[イウ]

と表せる。

(2) 49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A,B)を考える。
AとBの差の絶対値が1となる組(A,B)の中で、Aが最小になるのは

  (A,B)=(49×[ク],23×[ケコ])

である。また、AとBの差の絶対値が2となる組(A,B)の中で、Aが最小になる
のは

  (A,B)=(49×[サ],23×[シス])

である。

(3) 連続する三つの自然数a,a+1,a+2を考える。

  aとa+1の最大公約数は1
  a+1とa+2の最大公約数は1
  aとa+2の最大公約数は1または[セ]

である。
 また、次の条件がすべての自然数aで成り立つような自然数mのうち、最大の
ものはm=[ソ]である。

  条件:a(a+1)(a+2)はmの倍数である。

(4) 6762を素因数分解すると

  6762=2×[タ]×7^[チ]×[ツテ]

である。
 bをb(b+1)(b+2)が6762の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、b,b+1,b+2のいずれかは7^[チ]の倍数であり、また、
b,b+1,b+2のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
b=[トナニ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。



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■ 解説

では次の問題です。

49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A,B)を考える。
AとBの差の絶対値が1となる組(A,B)の中で、Aが最小になるのは

  (A,B)=(49×[ク],23×[ケコ])

「49の倍数である自然数A」は、「49x」と表すことができますね。
同様に「23の倍数である自然数B」は「23y」です。

「AとBの差の絶対値が1となる」をこれらを使って式で表すと、

49x-23y=|1|

となります。|49x-23y|=1と書いても同じです。

「どこかで見た式だな~」と思いませんか?

ついさっき解いた不定方程式49x-23y=1と同じ式ですよね?

これを満たす最小の自然数x,yの組み合わせはx=8,y=17でした。

ならば、A=49×8,B=23×17ですね!

よって、[ク]=8,[ケコ]=17


つづく


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