2019年センター数学1A第5問 ①[イ]まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学1A第5問の[イ]までを解説します。


数学1A第4問
数学2B第4問


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=4,BC=7,CA=5とする。
このとき、cos∠BAC=-1/5,sin∠BAC=2√6/5である。

 △ABCの内接円の半径は√[ア]/[イ]である。

 この内接円と辺ABとの接点をD,辺ACとの接点をEとする。

  AD=[ウ],DE=[エ]√[オカ]/[キ]

である。

 線分BEと線分CDの交点をP,直線APと辺BCの交点をQとする。

  BQ/CQ=[ク]/[ケ]

であるから、BQ=[コ]であり、△ABCの内心をI
とすると

  IQ=√[サ]/[シ]

である。また、直線CPと△ABCの内接円との交点でDとは異なる点をFと
すると

  cos∠DFE=√[スセ]/[ソ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}
で表記しています。



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■ 解説

早速「△ABCの内接円の半径」を求めていきましょう!

内接円とは三角形の内側に描いた円で、円周と三角形の3辺が接する円です。
円周と辺が接するので、当然、三角形の3辺は内接円の接線です。
そして接線ならば当然「接線の性質」が成り立つ。ということができます。

★円の中心から接点に引いた半径は、接線と垂直に交わる

という性質があるので、△ABCの頂点と内接円の中心Oを結んで、OA,OB,
OCによって△ABCを3つの三角形に分けると、3つとも半径が「高さ」になり
ます。つまり、

△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
    =(1/2)r×AB+(1/2)r×BC+(1/2)r×CA
    =(1/2)r(AB+BC+CA)     ←(1/2)rでくくった
    =(1/2)r(a+b+c)  ……{1}

と表すことができます。

今回の問題では、3辺は全てわかっているので、△ABCの面積を求めれば、
rの値を求められそうですね!

三角形の面積は、★S=(1/2)bc・sinAで求められます。

S=(1/2)×5×4×2√6/5
 =4√6

{1}の式に、△ABC=4√6,a=7,b=5,c=4を代入して、

4√6=(1/2)r(7+5+4)
4√6=8r
 8r=4√6
  r=√6/2

よって、[ア]=6,[イ]=2


つづく


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