2019年センター数学1A第5問 ②[ウ]まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学1A第5問の[ウ]までを解説します。


2019年センター数学1A第5問ここまでの記事→①[イ]まで

数学1A第4問
数学2B第4問


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=4,BC=7,CA=5とする。
このとき、cos∠BAC=-1/5,sin∠BAC=2√6/5である。

 △ABCの内接円の半径は√[ア]/[イ]である。

 この内接円と辺ABとの接点をD,辺ACとの接点をEとする。

  AD=[ウ],DE=[エ]√[オカ]/[キ]

である。

 線分BEと線分CDの交点をP,直線APと辺BCの交点をQとする。

  BQ/CQ=[ク]/[ケ]

であるから、BQ=[コ]であり、△ABCの内心をI
とすると

  IQ=√[サ]/[シ]

である。また、直線CPと△ABCの内接円との交点でDとは異なる点をFと
すると

  cos∠DFE=√[スセ]/[ソ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}
で表記しています。



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■ 解説

続いて、「この内接円と辺ABとの接点をD,辺ACとの接点をE」として、
AD,DEの長さを聞いています。

D,Eはともに三角形と円の接点なので、接線の性質が成り立ちます。

AD,AEは、「円の外部の点から一つの円に引いた2本の接線」と考えることが
できるので、AD=AEです。

AD=xとおけば、AD=AE=xですね。
これをもとにいろいろな長さを表してみましょう!

DB=AB-AD=4-x
CE=AC-AE=5-x

当然ですが、このようなことが言えます。

BCも内接円の接線なので、同様に「Bから内接円に引いた2本の接線」
「Cから内接円に引いた2本の接線」はそれぞれ等しいです。

ということは、

BC=4-x+5-x

ですね。BCの長さは7なので、

4-x+5-x=7
   9-2x=7
    -2x=7-9
    -2x=-2
      x=1

ということで、AD=1がわかりました。

[ウ]=1


つづく


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