数学１Ａ第４問
数学２Ｂ第４問
■ 問題
2019年センター試験数１Ａより
第５問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，ＣＡ＝５とする。
このとき、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝－１／５，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２√６／５である。
△ＡＢＣの内接円の半径は√[ア]／[イ]である。
この内接円と辺ＡＢとの接点をＤ，辺ＡＣとの接点をＥとする。
ＡＤ＝[ウ]，ＤＥ＝[エ]√[オカ]／[キ]
である。
線分ＢＥと線分ＣＤの交点をＰ，直線ＡＰと辺ＢＣの交点をＱとする。
ＢＱ／ＣＱ＝[ク]／[ケ]
であるから、ＢＱ＝[コ]であり、△ＡＢＣの内心をＩ
とすると
ＩＱ＝√[サ]／[シ]
である。また、直線ＣＰと△ＡＢＣの内接円との交点でＤとは異なる点をＦと
すると
ｃｏｓ∠ＤＦＥ＝√[スセ]／[ソ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。
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■ 解説
次にＤＥを求めます。
△ＡＤＥと見ると、[ウ]までよりＡＤ＝ＡＥ＝１，問題文より∠ＤＡＥがわかって
います。
「２辺と挟む角」がわかっているので、余弦定理が使えますね！
ＤＥ^2＝ＡＤ^2＋ＡＥ^2－２×ＡＤ×ＡＥ×ｃｏｓ∠ＤＡＥ
＝１^2＋１^2－２×１×１×(－１／５)
＝１＋１＋２／５
＝１２／５
ＤＥ＝√(１２／５)
＝√６０／５
＝２√１５／５
よって、[エ]＝２，[オカ]＝１５，[キ]＝５
つづく
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