2019年センター数学１Ａ第５問 ③[キ]まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学１Ａ第５問の[キ]までを解説します。


数学１Ａ第４問
数学２Ｂ第４問


■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第５問

　△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，ＣＡ＝５とする。
このとき、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝－１／５，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２√６／５である。

　△ＡＢＣの内接円の半径は√[ア]／[イ]である。

　この内接円と辺ＡＢとの接点をＤ，辺ＡＣとの接点をＥとする。

　　ＡＤ＝[ウ]，ＤＥ＝[エ]√[オカ]／[キ]

である。

　線分ＢＥと線分ＣＤの交点をＰ，直線ＡＰと辺ＢＣの交点をＱとする。

　　ＢＱ／ＣＱ＝[ク]／[ケ]

であるから、ＢＱ＝[コ]であり、△ＡＢＣの内心をＩ
とすると

　　ＩＱ＝√[サ]／[シ]

である。また、直線ＣＰと△ＡＢＣの内接円との交点でＤとは異なる点をＦと
すると

　　ｃｏｓ∠ＤＦＥ＝√[スセ]／[ソ]

である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。



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■　解説

次にＤＥを求めます。

△ＡＤＥと見ると、[ウ]までよりＡＤ＝ＡＥ＝１，問題文より∠ＤＡＥがわかって
います。

「２辺と挟む角」がわかっているので、余弦定理が使えますね！

ＤＥ^2＝ＡＤ^2＋ＡＥ^2－２×ＡＤ×ＡＥ×ｃｏｓ∠ＤＡＥ
　　　＝１^2＋１^2－２×１×１×(－１／５)
　　　＝１＋１＋２／５
　　　＝１２／５

ＤＥ＝√(１２／５)
　　＝√６０／５
　　＝２√１５／５

よって、[エ]＝２，[オカ]＝１５，[キ]＝５


つづく


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