2019年センター数学1A第5問 ⑥最後まで

この記事では、2019年大学入試センター試験数学1A第5問の最後までを解説します。


数学1A第4問
数学2B第4問


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=4,BC=7,CA=5とする。
このとき、cos∠BAC=-1/5,sin∠BAC=2√6/5である。

 △ABCの内接円の半径は√[ア]/[イ]である。

 この内接円と辺ABとの接点をD,辺ACとの接点をEとする。

  AD=[ウ],DE=[エ]√[オカ]/[キ]

である。

 線分BEと線分CDの交点をP,直線APと辺BCの交点をQとする。

  BQ/CQ=[ク]/[ケ]

であるから、BQ=[コ]であり、△ABCの内心をI
とすると

  IQ=√[サ]/[シ]

である。また、直線CPと△ABCの内接円との交点でDとは異なる点をFと
すると

  cos∠DFE=√[スセ]/[ソ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}
で表記しています。



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■ 解説

最後は「直線CPと△ABCの内接円との交点でDとは異なる点をF」として、
cos∠DFEを求めます。

∠DFEについて考えるには、まずは△DFEを描いてみましょう!

PはBEとCDの交点で、CPと内接円との交点がFです。
FとE,DとF,DとEを結んでみると、△DFEが完成します。

△DFEは、△ABCの内接円に内接しているので、いわゆる「接弦定理」が
使えます。

円に内接する三角形があり、その三角形の頂点における接線を引いたとき、
接線と三角形の間の角は、三角形の角のうち同じ方向を向いている角と大きさが
等しくなる。という定理です。

接弦定理により、∠DFE=∠AEDです。

ならば、cos∠DFE=cos∠AEDですね。

△AEDならばすでに3辺の長さがわかっているので、余弦定理で直接コサインの
値を求めることができます。

[ウ]までより、AD=AE=1,[キ]までよりDE=2√15/5ですね。
∠AEDを使って余弦定理の式を作ってみると、

AD^2=AE^2+DE^2-2×AE×DE×cos∠AED
 1^2=1^2+(2√15/5)^2-2×1×(2√15/5)×cos∠AED
  1=1+4・15/25-(4√15/5)×cos∠AED
  0=12/5-(4√15/5)×cos∠AED

cos∠AEDについて解くと、

cos∠AED=(12/5)/(4√15/5)
       =12/4√15
       =3/√15
       =3√15/15
       =√15/5

よって、[スセ]=15,[ソ]=5


つづく


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