数学１Ａ第４問
数学２Ｂ第４問
■ 問題
2019年センター試験数１Ａより
第５問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，ＣＡ＝５とする。
このとき、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝－１／５，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２√６／５である。
△ＡＢＣの内接円の半径は√[ア]／[イ]である。
この内接円と辺ＡＢとの接点をＤ，辺ＡＣとの接点をＥとする。
ＡＤ＝[ウ]，ＤＥ＝[エ]√[オカ]／[キ]
である。
線分ＢＥと線分ＣＤの交点をＰ，直線ＡＰと辺ＢＣの交点をＱとする。
ＢＱ／ＣＱ＝[ク]／[ケ]
であるから、ＢＱ＝[コ]であり、△ＡＢＣの内心をＩ
とすると
ＩＱ＝√[サ]／[シ]
である。また、直線ＣＰと△ＡＢＣの内接円との交点でＤとは異なる点をＦと
すると
ｃｏｓ∠ＤＦＥ＝√[スセ]／[ソ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。
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■ 解説
最後は「直線ＣＰと△ＡＢＣの内接円との交点でＤとは異なる点をＦ」として、
ｃｏｓ∠ＤＦＥを求めます。
∠ＤＦＥについて考えるには、まずは△ＤＦＥを描いてみましょう！
ＰはＢＥとＣＤの交点で、ＣＰと内接円との交点がＦです。
ＦとＥ，ＤとＦ，ＤとＥを結んでみると、△ＤＦＥが完成します。
△ＤＦＥは、△ＡＢＣの内接円に内接しているので、いわゆる「接弦定理」が
使えます。
円に内接する三角形があり、その三角形の頂点における接線を引いたとき、
接線と三角形の間の角は、三角形の角のうち同じ方向を向いている角と大きさが
等しくなる。という定理です。
接弦定理により、∠ＤＦＥ＝∠ＡＥＤです。
ならば、ｃｏｓ∠ＤＦＥ＝ｃｏｓ∠ＡＥＤですね。
△ＡＥＤならばすでに３辺の長さがわかっているので、余弦定理で直接コサインの
値を求めることができます。
[ウ]までより、ＡＤ＝ＡＥ＝１，[キ]までよりＤＥ＝２√１５／５ですね。
∠ＡＥＤを使って余弦定理の式を作ってみると、
ＡＤ^2＝ＡＥ^2＋ＤＥ^2－２×ＡＥ×ＤＥ×ｃｏｓ∠ＡＥＤ
１^2＝１^2＋(２√１５／５)^2－２×１×(２√１５／５)×ｃｏｓ∠ＡＥＤ
１＝１＋４・１５／２５－(４√１５／５)×ｃｏｓ∠ＡＥＤ
０＝１２／５－(４√１５／５)×ｃｏｓ∠ＡＥＤ
ｃｏｓ∠ＡＥＤについて解くと、
ｃｏｓ∠ＡＥＤ＝(１２／５)／(４√１５／５)
＝１２／４√１５
＝３／√１５
＝３√１５／１５
＝√１５／５
よって、[スセ]＝１５，[ソ]＝５
つづく
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