2020年センター数学1A第1問[1] ②[オ]まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学1A第1問[1]の[オ]までを解説します。


2020年センター数学1A第1問[1]ここまでの記事→①[ウ]まで


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


■ 問題

2020年センター試験数1Aより

第1問

[1] aを定数とする。

(1) 直線l:y=(a^2-2a-8)x+aの傾きが負となるのは、aの値の範囲が

  [アイ]<a<[ウ]

のときである。

(2) a^2-2a-8≠0とし、(1)の直線lとx軸との交点のx座標をbとする。

a>0の場合、b>0となるのは[エ]<a<[オ]のときである。
a≦0の場合、b>0となるのはa<[カキ]のときである。
 また、a=√3のとき

  b=([ク]√[ケ]-[コ])/[サシ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。



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■ 解説

続いて(2)です。
まずは問題を確認してみると、


(2) a^2-2a-8≠0とし、(1)の直線lとx軸との交点のx座標をbとする。

a>0の場合、b>0となるのは[エ]<a<[オ]のときである。


ですね。
a^2-2a-8≠0としているのは、もしゼロになってしまうと、傾きがゼロの直線つまり、x軸に並行な直線になってしまい、x軸と共有点を持たなくなってしまうからですね。


そして、「(1)の直線lとx軸との交点のx座標をb」としています。
関数とx軸との交点は、中学の数学でもやっているように、y=0で解けば出てきます。
やってみましょう!

(a^2-2a-8)x+a=0
  (a^2-2a-8)x=-a

両辺を(a^2-2a-8)で割れば、x=-a/(a^2-2a-8)が得られます。
これがx軸との交点なので、bです。
b>0となるaの値の範囲を聞いているので、その通りに、-a/(a^2-2a-8)>0で解いてみます。

-a/(a^2-2a-8)>0
 1/(a^2-2a-8)<0

分子は正の数で、左辺がゼロより小さいので、分母がマイナスになる必要があります。
つまり、a^2-2a-8<0です。これは前回の記事でも求めたように、-2<a<4ですね。

ただし、これはa>0という条件なので、この問題の解としては

0<a<4となります。

よって、[エ]=0,[オ]=4


つづく


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関連項目
1次関数
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