2020年センター数学1A第1問[3]ここまでの記事→①2点の座標
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昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B
■ 問題
2020年センター試験数1Aより
第1問
[3] cを定数とする。2次関数y=x^2のグラフを2点(c,0),(c+4,0)を
通るように平行移動して得られるグラフをGとする。
(1) Gをグラフにもつ2次関数は、cを用いて
y=x^2-2(c+[ツ])+c(c+[テ])
と表せる。
2点(3,0),(3,-3)を両端とする線分とGが共有点をもつようなcの値の
範囲は
-[ト]≦c≦[ナ],[ニ]≦c≦[ヌ]
である。
(2) [ニ]≦c≦[ヌ]の場合を考える。Gが点(3,-1)を通るとき、Gは2次関数
y=x^2のグラフをx軸方向に[ネ]+√[ノ],y軸方向に[ハヒ]だけ平行移動した
ものである。また、このときGとy軸との交点のy座標は[フ]+[ヘ]√[ホ]である。
※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説
最初の設問では、このGの式を求めます。
たとえばy=(x-1)(x-2)という2次関数ならば、x軸との交点は(1,0),
(2,0)ですね。
2次方程式(x-1)(x-2)=0の解がx軸との交点のx座標となります。
つまり、式が決まればx軸との交点が決まり、x軸との交点が決まれば式が決まる
という関係が成り立ちます。
Gは(c,0),(c+4,0)を通り、これら2点はx軸上の点であることが
わかっています。
さらに、y=x^2を平行移動したので、xの2乗の係数はそのまま1です。
ということは、
G:y=(x-c){x-(c+4)}
という式を作ることができます。
あとは展開して整理すれば良さそうですね!
y=x^2-(c+4)x-cx+c(c+4)
=x^2-(2c+4)x+c(c+4)
=x^2-2(c+2)x+c(c+4)
よって、[ツ]=2,[テ]=4
つづく
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