2020年センター数学2B第1問[1] ⑤[ク]まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[ク]までを解説します。


2020年センター数学2B第1問[1]ここまでの記事→①ラジアンについて②[ウ]まで③三角関数の合成④[エ]まで


2020年センター数学前回の問題→2020年センター数学1A第1問[3]


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


■ 問題

[1] 0≦θ<2πのとき

 sinθ>√3・cos(θ-π/3) ・・・{1}

となるθの範囲を求めよう。

 加法定理を用いると

 √3・cos(θ-π/3)=(√[ア]/[イ])cosθ+([ウ]/[イ])sinθ

である。よって、三角関数の合成を用いると、{1}は

 sin(θ+π/[エ])<0

と変形できる。したがって、求める範囲は

 ([オ]/[カ])π<θ<([キ]/[ク])π

である。

(2) 0≦θ≦π/2とし、kを実数とする。sinθとcosθはxの2次方程式
25x^2-35x+k=0の解であるとする。このとき、解と係数の関係により
sinθ+cosθとsinθcosθの値を考えれば、k=[ケコ]であることが
わかる。

 さらに、θがsinθ≧cosθを満たすとすると、sinθ=[サ]/[シ],
cosθ=[ス]/[セ]である。このとき、θは[ソ]を満たす。[ソ]に当てはまる
ものを、次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。

{0} 0≦θ<π/12  {1} π/12≦θ<π/6  {2} π/6≦θ<π/4
{3} π/4≦θ<π/3  {4} π/3≦θ<(5/12)π  {5} (5/12)π≦θ<π/2


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。




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■ 解説

それではsin(x+π/3)<0を解いてみましょう!

x+π/3=Aとすると、

sinA<0

つまり、サインの値がゼロより小さい場合の角度を考えます。
sinA=y/rだから、yの値がゼロより小さければ、サインの値はゼロより
小さくなります。つまり、

180°<A<360°

ですね。ラジアンに直せば、

π<A<2π

A=x+π/3に戻すと、

  π<x+π/3<2π
π-π/3<x<2π-π/3
(2/3)π<x<(5/3)π

よって、[オ]=2,[カ]=3,[キ]=5,[ク]=3


つづく


関連項目
三角方程式
サインの加法定理


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