2020年センター数学2B第1問[1] ⑧[セ]まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[セ]までを解説します。


2020年センター数学2B第1問[1]ここまでの記事→①ラジアンについて②[ウ]まで③三角関数の合成④[エ]まで⑤[ク]まで⑥解と係数の関係⑦[ケコ]まで


2020年センター数学前回の問題→2020年センター数学1A第1問[3]


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


■ 問題

[1] 0≦θ<2πのとき

 sinθ>√3・cos(θ-π/3) ・・・{1}

となるθの範囲を求めよう。

 加法定理を用いると

 √3・cos(θ-π/3)=(√[ア]/[イ])cosθ+([ウ]/[イ])sinθ

である。よって、三角関数の合成を用いると、{1}は

 sin(θ+π/[エ])<0

と変形できる。したがって、求める範囲は

 ([オ]/[カ])π<θ<([キ]/[ク])π

である。

(2) 0≦θ≦π/2とし、kを実数とする。sinθとcosθはxの2次方程式
25x^2-35x+k=0の解であるとする。このとき、解と係数の関係により
sinθ+cosθとsinθcosθの値を考えれば、k=[ケコ]であることが
わかる。

 さらに、θがsinθ≧cosθを満たすとすると、sinθ=[サ]/[シ],
cosθ=[ス]/[セ]である。このとき、θは[ソ]を満たす。[ソ]に当てはまる
ものを、次の{0}~{5}のうちから一つ選べ。

{0} 0≦θ<π/12  {1} π/12≦θ<π/6  {2} π/6≦θ<π/4
{3} π/4≦θ<π/3  {4} π/3≦θ<(5/12)π  {5} (5/12)π≦θ<π/2


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。




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■ 解説

◆7までで、

sinθ+cosθ=7/5
sinθcosθ=12/25

であることがわかりました。
これらを連立して解けば、sinθ,cosθを求めることができますね!

移項して、cosθ=7/5-sinθをsinθcosθ=12/25に代入
して、

     sinθ(7/5-sinθ)=12/25
   (7/5)sinθ-(sinθ)^2=12/25
   35sinθ-25(sinθ)^2=12
25(sinθ)^2-35sinθ+12=0
  (5sinθ-3)(5sinθ-4)=0

よって、sinθ=3/5,4/5
sinθ=3/5のとき、3/5+cosθ=7/5よりcosθ=4/5
sinθ=4/5のとき、4/5+cosθ=7/5よりcosθ=3/5

sinθ≧cosθなので、sinθ=4/5,cosθ=3/5が今回の問題の
答えとなります。

よって、[サ]=4,[シ]=5,[ス]=3,[セ]=5


つづく


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