2020年センター数学前回の問題→数学２Ｂ第１問[1]三角関数
昨年のセンター数学
2019年数学１Ａ
2019年数学２Ｂ
■ 問題
2020年センター試験数２Ｂより
第１問
[ 2 ]
(1) ｔは正の実数であり、ｔ^(1/3)－ｔ^(-1/3)＝－３を満たすとする。このとき
ｔ^(2/3)＋ｔ^(-2/3)＝[タチ]
である。さらに
ｔ^(1/3)＋ｔ^(-1/3)＝√[ツテ]，ｔ－ｔ^(-1)＝[トナニ]
である。
(2) ｘ，ｙは正の実数とする。連立方程式
{ｌｏｇ[3](ｘ√ｙ)≦５ ……{2}
{ｌｏｇ[81](ｙ／ｘ^3)≦１ ……{3}
について考える。
Ｘ＝ｌｏｇ[3]ｘ，Ｙ＝ｌｏｇ[3]ｙとおくと、{2}，{3}は
[ヌ]Ｘ＋Ｙ≦[ネノ] ……{4}
[ハ]Ｘ－Ｙ≧[ヒフ] ……{5}
と変形できる。
Ｘ，Ｙが{4}と{5}を満たすとき、Ｙのとり得る最大の整数の値は[ヘ]である。
また、ｘ，ｙが{2}，{3}とｌｏｇ[3]ｙ＝[ヘ]を同時に満たすとき、ｘのとり得る
最大の整数の値は[ホ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説
(1) ｔ^(1/3)－ｔ^(-1/3)＝－３という式が与えられて、ｔ^(2/3)＋ｔ^(-2/3)の
値を聞いています。
ちなみに、ｔ^(1/3)は、ｔの１／３乗です。
ｔ^(2/3)はｔの２／３乗です。
２／３乗は１／３乗を２乗したものですね。
だから、ｔ^(1/3)－ｔ^(-1/3)＝－３の両辺を２乗してみれば、何とかなるのでは？
と考えて計算してみればＯＫです！
両辺を２乗すると、
{ｔ^(1/3)－ｔ^(-1/3)}^2＝(－３)^2
普通に展開すると、
ｔ^(2/3)－２・ｔ^(1/3)・ｔ^(-1/3)＋ｔ^(-2/3)＝９
ｔ^(1/3)・ｔ^(-1/3)＝１ですね。あとは普通に計算して、
ｔ^(2/3)－２＋ｔ^(-2/3)＝９
ｔ^(2/3)＋ｔ^(-2/3)＝９＋２
ｔ^(2/3)＋ｔ^(-2/3)＝１１
よって、[タチ]＝１１
つづく
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