2020年センター数学2B第1問[2] ④[ネノ]まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の[ネノ]までを解説します。


2020年センター数学2B第1問[2]ここまでの解説→①[タチ]まで②[ツテ]まで③[トナニ]まで


2020年センター数学前回の問題→数学2B第1問[1]三角関数


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第1問

[ 2 ]

(1) tは正の実数であり、t^(1/3)-t^(-1/3)=-3を満たすとする。このとき

 t^(2/3)+t^(-2/3)=[タチ]

である。さらに

 t^(1/3)+t^(-1/3)=√[ツテ],t-t^(-1)=[トナニ]

である。

(2) x,yは正の実数とする。連立方程式

 {log[3](x√y)≦5 ……{2}
 {log[81](y/x^3)≦1 ……{3}

について考える。

 X=log[3]x,Y=log[3]yとおくと、{2},{3}は

 [ヌ]X+Y≦[ネノ] ……{4}
 [ハ]X-Y≧[ヒフ] ……{5}

と変形できる。

 X,Yが{4}と{5}を満たすとき、Yのとり得る最大の整数の値は[ヘ]である。
また、x,yが{2},{3}とlog[3]y=[ヘ]を同時に満たすとき、xのとり得る
最大の整数の値は[ホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。




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■ 解説

次は(2)です。

(2) x,yは正の実数として、

 {log[3](x√y)≦5 ……{2}
 {log[81](y/x^3)≦1 ……{3}

について考えます。

 X=log[3]x,Y=log[3]yとおいて、{2},{3}を変形します。

対数の和は真数の積なので、

 log[3](x√y)
=log[3]x+log[3]√y    ←真数の積は対数の和
=log[3]x+log[3]y^(1/2)
=log[3]x+(1/2)log[3]y ←真数の指数は対数の係数

X=log[3]x,Y=log[3]yなので、

=X+(1/2)Y

さらに、log[3](x√y)≦5だったので、X+(1/2)Y≦5となります。
解答の形式と一致させるためには、Yの係数は1にしなければいけないので、
両辺を2倍して、

2X+Y≦10

よって、[ヌ]=2,[ネノ]=10


つづく


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関連項目
対数の計算方法


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