2020年センター数学1A第2問[1] ⑤[エ]まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学1A第2問[1]の[エ]までを解説します。


2020年センタ数学1A第2問[1]ここまでの解説→①三角比の基本②相互関係③正弦定理・余弦定理④[ア]まで


2020年センター数学前回の問題→2020年数学2B第1問[2]


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


■ 問題

2020年センター試験数1Aより

第2問

[1] △ABCにおいて、BC=2√2とする。∠ACBの二等分線と辺ABの
交点をDとし、CD=√2,cos∠BCD=3/4とする。このとき、
BD=[ア]であり

 sin∠ADC=√[イウ]/[エ]

である。AC/AD=√[オ]であるから

 AD=[カ]

である。また、△ABCの外接円の半径は[キ]√[ク]/[ケ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。




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■ 解説

次はsin∠ADCを求めます。

ここから後はいろいろな経路でAC,ADを含めて求めることができますが、
ここでは、まず、cos∠BDCを求める方向でやってみます。

△BCDは④[ア]までで3辺がわかっているので、どの角に対しても余弦定理の式を
作ることができます。

cos∠BDCを軸に考えると、

  BC^2=CD^2+DB^2-2・CD・DB・cos∠BDC
(2√2)^2=(√2)^2+2^2-2・√2・2・cos∠BDC
    8=2+4-4√2cos∠BDC

移項してまとめると、

cos∠BDC=(2+4-8)/(4√2)
       =-2/4√2
       =-1/2√2

∠ADC=180°-∠BDCなので、
cos∠ADC=cos(180°-∠BDC)
       =-cos∠BDC
       =1/2√2

三角比の相互関係より
(sin∠ADC)^2+(cos∠ADC)^2=1
      (sin∠ADC)^2+1/8=1
          (sin∠ADC)^2=1-1/8
          (sin∠ADC)^2=7/8

よって、sin∠ADC=√7/√8=√7/2√2=√14/4

よって、[イウ]=14,[エ]=4


つづく


関連問題
余弦定理を使うとき


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