2020年センター数学2B第2問 ③[シ]まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学2B第2問の[シ]までを解説します。


2020年センター数学2B第2問ここまでの問題→①[ウ]まで②[ク]まで


2020年センター数学1A前回の問題→第2問[2]データの分析
2020年センター数学2B前回の問題→第1問[2]指数対数


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第2問

 a>0とし、f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1とおく。座標平面上で、
放物線y=x^2+2x+1をC,放物線y=f(x)をDとする。また、lをCとD
の両方に接する直線とする。

(1) lの方程式を求めよう。
 lとCは点(t,t^2+2t+1)において接するとすると、lの方程式は

 y=([ア]t+[イ])x-t^2+[ウ] ……{1}

である。また、lとDは点(s,f(s))において接するとすると、lの方程式は

 y=([エ]s-[オ]a+[カ])x-s^2+[キ]a^2+[ク] ……{2}

である。ここで、{1}と{2}は同じ直線を表しているので、t=[ケ],s=[コ]aが
成り立つ。
 したがって、lの方程式はy=[サ]x+[シ]である。

(2) 2つの放物線C,Dの交点のx座標は[ス]である。
 Cと直線l,および直線x=[ス]で囲まれた図形の面積をSとすると、
S=(a^[セ])/[ソ]である。

(3) a≧1/2とする。二つの放物線C,Dと直線lで囲まれた図形の中で
0≦x≦1を満たす部分の面積Tは,a>[タ]のとき、aの値によらず

 T=[チ]/[ツ]

であり、1/2≦a≦[タ]のとき

 T=-[テ]a^3+[ト]a^2-[ナ]a+[ニ]/[ヌ]

である。

(4) 次に、(2), (3)で定めたS,Tに対して、U=2T-3Sとおく。aが
1/2≦a≦[タ]の範囲を動くとき、Uはa=[ネ]/[ノ]で最大値[ハ]/[ヒフ]を
とる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。




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■ 解説

①[ウ]まで②[ク]までで出したlの式2つは、同じ直線を表しているので、係数が一致するはずです。

y=(2t+2)x-t^2+1とy=(2s-4a+2)x-s^2+4a^2+1が同じ
なので、

2t+2=2s-4a+2    ・・・[1]
-t^2+1=-s^2+4a^2+1 ・・・[2]

という2つの式ができます。
これらをaを定数として連立方程式として解いてみると、

[1]より
2t=2s-4a
 t=s-2a  ・・・[3]

[3]を[2]に代入して、
 -(s-2a)^2+1=-s^2+4a^2+1
    (s-2a)^2=s^2-4a^2
s^2-4as+4a^2=s^2-4a^2
  -4as+8a^2=0
    as-2a^2=0
    a(s-2a)=0
よって、s=2a ・・・[4]

[4]を[3]に代入して、
t=2a-2a=0

さらに、t=0をy=(2t+2)x-t^2+1に代入すると、

y=2x+1

よって、[ケ]=0,[コ]=2,[サ]=2,[シ]=1


つづく


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