2020年センター数学２Ｂ第２問ここまでの問題→①[ウ]まで、②[ク]まで、③[シ]まで、④[ス]まで、⑤[ソ]まで、⑥[ツ]まで
2020年センター数学１Ａ前回の問題→第２問[2]データの分析
2020年センター数学２Ｂ前回の問題→第１問[2]指数対数
昨年のセンター数学
2019年数学１Ａ
2019年数学２Ｂ
■ 問題
2020年センター試験数２Ｂより
第２問
ａ＞０とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^2－(４ａ－２)ｘ＋４ａ^2＋１とおく。座標平面上で、
放物線ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１をＣ，放物線ｙ＝ｆ(ｘ)をＤとする。また、ｌをＣとＤ
の両方に接する直線とする。
(1) ｌの方程式を求めよう。
ｌとＣは点(ｔ，ｔ^2＋２ｔ＋１)において接するとすると、ｌの方程式は
ｙ＝([ア]ｔ＋[イ])ｘ－ｔ^2＋[ウ] ……{1}
である。また、ｌとＤは点(ｓ，ｆ(ｓ))において接するとすると、ｌの方程式は
ｙ＝([エ]ｓ－[オ]ａ＋[カ])ｘ－ｓ^2＋[キ]ａ^2＋[ク] ……{2}
である。ここで、{1}と{2}は同じ直線を表しているので、ｔ＝[ケ]，ｓ＝[コ]ａが
成り立つ。
したがって、ｌの方程式はｙ＝[サ]ｘ＋[シ]である。
(2) ２つの放物線Ｃ，Ｄの交点のｘ座標は[ス]である。
Ｃと直線ｌ，および直線ｘ＝[ス]で囲まれた図形の面積をＳとすると、
Ｓ＝(ａ^[セ])／[ソ]である。
(3) ａ≧１／２とする。二つの放物線Ｃ，Ｄと直線ｌで囲まれた図形の中で
０≦ｘ≦１を満たす部分の面積Ｔは，ａ＞[タ]のとき、ａの値によらず
Ｔ＝[チ]／[ツ]
であり、１／２≦ａ≦[タ]のとき
Ｔ＝－[テ]ａ^3＋[ト]ａ^2－[ナ]ａ＋[ニ]／[ヌ]
である。
(4) 次に、(2), (3)で定めたＳ，Ｔに対して、Ｕ＝２Ｔ－３Ｓとおく。ａが
１／２≦ａ≦[タ]の範囲を動くとき、Ｕはａ＝[ネ]／[ノ]で最大値[ハ]／[ヒフ]を
とる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説
１／２≦ａ≦１のときは、定積分の区間の０～１の間にａがあります。
すなわち、ＣとＤの交点があるので、０～ａとａ～１の区間に分けて定積分を
する。というわけです。
折れ線など、２つの異なる関数がつながっている場合は、別々の図形として考える
のですね。
０～ａでは、ｌとＣで囲まれた部分なので、
∫[0～a]{ｘ^2＋２ｘ＋１－(２ｘ＋１)}ｄｘ
＝∫[0～a](ｘ^2)ｄｘ
＝[(１／３)ｘ^3][0～a]
＝(１／３)ａ^3
つづいて、ａ～１では、ｌとＤで囲まれた部分なので、
∫[a～1]{ｘ^2－(４ａ－２)ｘ＋４ａ^2＋１－(２ｘ＋１)}ｄｘ
＝∫[a～1](ｘ^2－４ａｘ＋４ａ^2)ｄｘ
＝[(１／３)ｘ^3－２ａｘ^2＋４ａ^2・ｘ][a～1]
＝(１／３)－２ａ＋４ａ^2－{(１／３)ａ^3－２ａ^3＋４ａ^3}
＝１／３－２ａ＋４ａ^2－(１／３)ａ^3－２ａ^3
これらを合計したものがＴだから、
Ｔ＝(１／３)ａ^3＋１／３－２ａ＋４ａ^2－(１／３)ａ^3－２ａ^3
＝－２ａ^3＋４ａ^2－２ａ＋１／３
よって、[テ]＝２，[ト]＝４，[ナ]＝２，[ニ]＝１，[ヌ]＝３
つづく
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