2020年センター数学２Ｂ第２問ここまでの問題→①[ウ]まで、②[ク]まで、③[シ]まで、④[ス]まで、⑤[ソ]まで、⑥[ツ]まで、⑦[ヌ]まで、⑧Ｕの式
2020年センター数学１Ａ前回の問題→第２問[2]データの分析
2020年センター数学２Ｂ前回の問題→第１問[2]指数対数
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■ 問題
2020年センター試験数２Ｂより
第２問
ａ＞０とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^2－(４ａ－２)ｘ＋４ａ^2＋１とおく。座標平面上で、
放物線ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１をＣ，放物線ｙ＝ｆ(ｘ)をＤとする。また、ｌをＣとＤ
の両方に接する直線とする。
(1) ｌの方程式を求めよう。
ｌとＣは点(ｔ，ｔ^2＋２ｔ＋１)において接するとすると、ｌの方程式は
ｙ＝([ア]ｔ＋[イ])ｘ－ｔ^2＋[ウ] ……{1}
である。また、ｌとＤは点(ｓ，ｆ(ｓ))において接するとすると、ｌの方程式は
ｙ＝([エ]ｓ－[オ]ａ＋[カ])ｘ－ｓ^2＋[キ]ａ^2＋[ク] ……{2}
である。ここで、{1}と{2}は同じ直線を表しているので、ｔ＝[ケ]，ｓ＝[コ]ａが
成り立つ。
したがって、ｌの方程式はｙ＝[サ]ｘ＋[シ]である。
(2) ２つの放物線Ｃ，Ｄの交点のｘ座標は[ス]である。
Ｃと直線ｌ，および直線ｘ＝[ス]で囲まれた図形の面積をＳとすると、
Ｓ＝(ａ^[セ])／[ソ]である。
(3) ａ≧１／２とする。二つの放物線Ｃ，Ｄと直線ｌで囲まれた図形の中で
０≦ｘ≦１を満たす部分の面積Ｔは，ａ＞[タ]のとき、ａの値によらず
Ｔ＝[チ]／[ツ]
であり、１／２≦ａ≦[タ]のとき
Ｔ＝－[テ]ａ^3＋[ト]ａ^2－[ナ]ａ＋[ニ]／[ヌ]
である。
(4) 次に、(2), (3)で定めたＳ，Ｔに対して、Ｕ＝２Ｔ－３Ｓとおく。ａが
１／２≦ａ≦[タ]の範囲を動くとき、Ｕはａ＝[ネ]／[ノ]で最大値[ハ]／[ヒフ]を
とる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説
Ｕはつまりａの３次関数ですね。
だから、普通に３次関数の最大最小を考えるときにやることをやればＯＫです！
ということは・・・
微分！
極値！
増減表！
ですね。
微分してイコールゼロで解けば、極値がわかる。極値がわかれば増減がわかる。
ａの範囲を考えれば最大値もわかる。という流れです。
やってみましょう！
Ｕ＝－５ａ^3＋８ａ^2－４ａ＋２／３
Ｕ'＝－１５ａ^2＋１６ａ－４
これをイコールゼロで解くと、
－１５ａ^2＋１６ａ－４＝０
１５ａ^2－１６ａ＋４＝０
(５ａ－２)(３ａ－２)＝０
よって、ａ＝２／５，２／３
ａ^3の係数はマイナスなので、グラフは全体として右下がりだから、２つの極値の
うち左が極小、右が極大となります。
つまり、ａ＝２／５が極小値、ａ＝２／３が極大値です。
２／５＜１／２，１／２＜２／３＜１だから、定義域には極小値は含まれず、
極大値が含まれます。その周辺で最も大きいのが極大値なので、
極大値が最大値であることがわかりますね！
よってａ＝２／３のときが最大です。
Ｕの式にａ＝２／３を代入すると、
Ｕ＝－５(２／３)^3＋８(２／３)^2－４(２／３)＋２／３
＝－４０／２７＋３２／９－８／３＋２／３
＝(１／２７)(－４０＋９６－７２＋１８)
＝２／２７
よって、[ネ]＝２，[ノ]＝３，[ハ]＝２，[ヒフ]＝２７
つづく
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