2020年センター数学2B第2問 ⑨最後まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学2B第2問の最後までを解説します。


2020年センター数学2B第2問ここまでの問題→①[ウ]まで②[ク]まで③[シ]まで④[ス]まで⑤[ソ]まで⑥[ツ]まで⑦[ヌ]まで⑧Uの式


2020年センター数学1A前回の問題→第2問[2]データの分析
2020年センター数学2B前回の問題→第1問[2]指数対数


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


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■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第2問

 a>0とし、f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1とおく。座標平面上で、
放物線y=x^2+2x+1をC,放物線y=f(x)をDとする。また、lをCとD
の両方に接する直線とする。

(1) lの方程式を求めよう。
 lとCは点(t,t^2+2t+1)において接するとすると、lの方程式は

 y=([ア]t+[イ])x-t^2+[ウ] ……{1}

である。また、lとDは点(s,f(s))において接するとすると、lの方程式は

 y=([エ]s-[オ]a+[カ])x-s^2+[キ]a^2+[ク] ……{2}

である。ここで、{1}と{2}は同じ直線を表しているので、t=[ケ],s=[コ]aが
成り立つ。
 したがって、lの方程式はy=[サ]x+[シ]である。

(2) 2つの放物線C,Dの交点のx座標は[ス]である。
 Cと直線l,および直線x=[ス]で囲まれた図形の面積をSとすると、
S=(a^[セ])/[ソ]である。

(3) a≧1/2とする。二つの放物線C,Dと直線lで囲まれた図形の中で
0≦x≦1を満たす部分の面積Tは,a>[タ]のとき、aの値によらず

 T=[チ]/[ツ]

であり、1/2≦a≦[タ]のとき

 T=-[テ]a^3+[ト]a^2-[ナ]a+[ニ]/[ヌ]

である。

(4) 次に、(2), (3)で定めたS,Tに対して、U=2T-3Sとおく。aが
1/2≦a≦[タ]の範囲を動くとき、Uはa=[ネ]/[ノ]で最大値[ハ]/[ヒフ]を
とる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。




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■ 解説

Uはつまりaの3次関数ですね。
だから、普通に3次関数の最大最小を考えるときにやることをやればOKです!

ということは・・・

微分
極値
増減表!

ですね。
微分してイコールゼロで解けば、極値がわかる。極値がわかれば増減がわかる。
aの範囲を考えれば最大値もわかる。という流れです。
やってみましょう!

U=-5a^3+8a^2-4a+2/3
U'=-15a^2+16a-4

これをイコールゼロで解くと、

-15a^2+16a-4=0
 15a^2-16a+4=0
 (5a-2)(3a-2)=0
よって、a=2/5,2/3

a^3の係数はマイナスなので、グラフは全体として右下がりだから、2つの極値の
うち左が極小、右が極大となります。
つまり、a=2/5が極小値、a=2/3が極大値です。

2/5<1/2,1/2<2/3<1だから、定義域には極小値は含まれず、
極大値が含まれます。その周辺で最も大きいのが極大値なので、

極大値が最大値であることがわかりますね!

よってa=2/3のときが最大です。

Uの式にa=2/3を代入すると、
U=-5(2/3)^3+8(2/3)^2-4(2/3)+2/3
 =-40/27+32/9-8/3+2/3
 =(1/27)(-40+96-72+18)
 =2/27

よって、[ネ]=2,[ノ]=3,[ハ]=2,[ヒフ]=27


つづく


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