2020年センター数学1A第3問[2] ⑤[サシ]まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学1A第3問[2]の[サシ]までを解説します。


2020年センター数学1A第3問[2]ここまでの記事→①[エ]まで②[カ]まで③[キ]まで④[ケ]まで


2020年センター数学1A前回の問題→第3問[1]
2020年センター数学2B前回の問題→第2問微分積分


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■ 問題

2020年センター試験数1Aより

第3問

[2] 1枚のコインを最大で5回投げるゲームを行う。このゲームでは、1回投げる
ごとに表が出たら持ち点に2点を加え、裏が出たら持ち点に-1点を加える。
はじめの持ち点は0点とし、ゲーム終了のルールを次のように定める。

・持ち点が再び0点になった場合は、その時点で終了する。
・持ち点が再び0点にならない場合は、コインを5回投げ終わった時点で終了する。

(1) コインを2回投げ終わって持ち点が-2点である確率は[ウ]/[エ]である。
また、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である確率は[オ]/[カ]である。

(2) 持ち点が再び0点になることが起こるのは、コインを[キ]回投げ終わったとき
である。コインを[キ]回投げ終わって持ち点が0点になる確率は[ク]/[ケ]である。

(3) ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率は[コ]/[サシ]である。

(4) ゲームが終了した時点で持ち点が4点であるとき、コインを2回投げ終わって
持ち点が1点である条件付き確率は[ス]/[セ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。




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■ 解説

次は(3)です。

「ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率」を聞いています。

ゲームが終了した時点で4点であるので、つまり、5回投げて4点です。

5回投げて4点になる場合はどんなときかというと・・・

「3回表、2回裏」の場合ですね。
2点×3から1点×2を引いたら4点。というわけです。

ただし、5回に達する前にゲームが終わってしまっては4点にならないので、
ゲームが3回目でゲームが終わらず、5回目で4点になる場合を考えます。

3回目でゲームが終わるのは④[ケ]までで考えたように、(2,-1,-1)の組み合わせ
の場合です。

逆に終わらない場合は、(2,2,2),(2,2,-1),(-1,-1,-1)の
3パターンが考えられます。これらそれぞれの確率を求めて、合計していきます。

(2,2,2)のときは、4点になるためには、あとの2回は(-1,-1)だから、
(1/2)^3×(1/2)^2=(1/8)×(1/4)=1/32

(2,2,-1)のときは、4点になるには、あとの2回は(2,-1)だから、
3C2×(1/2)^2×(1/2)×2C1×(1/2)^2=(3/8)×(2/4)=6/32

(-1,-1,-1)のとき、あとの2回がどうなっても4点にはなりません。

ということで、求める確率は

1/32+6/32=7/32

よって、[コ]=7,[サシ]=32


つづく


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