2020年センター数学2B第3問 ①[ア]

この記事では、2020年大学入試センター試験数学2B第3問の[ア]までを解説します。


2020年センター数学1A前回の問題→第3問[2]
2020年センター数学2B前回の問題→第2問微分積分


2019年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


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■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第3問

 数列{an}は、初項a1が0であり、n=1,2,3,…のとき次の漸化式を
満たすものとする。

 an+1={(n+3)/(n+1)}{3an+3^(n+1)-(n+1)(n+2)}……{1}

(1) a2=[ア]である。

(2) bn=an/{3^n・(n+1)(n+2)}とおき、数列{bn}の一般項を求めよう。

 {bn}の初項b1は[イ]である。{1}の両辺を3^(n+1)・(n+2)(n+3)で割ると

 bn+1=bn+[ウ]/{(n+[エ])(n+[オ])}-(1/[カ])^(n+1)

を得る。ただし[エ]<[オ]とする。
 したがって

 bn+1-bn=[キ]/(n+[エ])-[キ]/(n+[カ])-(1/[カ])^(n+1)

である。


 nを2以上の自然数とするとき

 Σ[k=1~n-1]{[キ]/(k+[エ])-[キ]/(k+[オ])}
=(1/[ク]){(n-[ケ])/(n+[コ])}

 Σ[k=1~n-1](1/[カ])^(k+1)
=[サ]/[シ]-([ス]/[セ])(1/[カ])^n

が成り立つことを利用すると

 bn=(n-[ソ])/{[タ](n+[チ])}+([ス]/[セ])(1/[カ])^n

が得られる。これはn=1のときも成り立つ。


(3) (2)により、{an}の一般項は

 an=[ツ]^(n-[テ])・(n^2-[ト])+{(n+[ナ])(n+[ニ])}/[ヌ]

で与えられる。ただし、[ナ]<[ニ]とする。

 このことから、すべての自然数nについて、anは整数となることがわかる。


(4) kを自然数とする。a3k,a3k+1,a3k+2を3で割った余りはそれぞれ[ネ],
[ノ],[ハ]である。また、{an}の初項から第2020項までの和を3で割った余りは
[ヒ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。




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■ 解説

まず最初はa2を聞いています。
a2は「第2項目」でしたね。
今回考える式は、

an+1={(n+3)/(n+1)}{3an+3^(n+1)-(n+1)(n+2)}

これなので、an+1=a2すなわち、n+1=2よりn=1の場合を考えます。

n=1を代入すると、

a2=(1+3)/(1+1){3a1+3^(1+1)-(1+1)(1+2)}

さらに、問題にa1=0とあるので、3a1=0だから消去して整理すると、

  =(4/2)(3^2-2×3)
  =2×(9-6)
  =2×3
  =6

よって、[ア]=6


つづく


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