2020年センター数学２Ｂ第３問ここまでの解説→[ア]まで
2020年センター数学１Ａ前回の問題→第３問[2]
2020年センター数学２Ｂ前回の問題→第２問微分積分
2019年のセンター数学
2019年数学１Ａ
2019年数学２Ｂ
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■ 問題
2020年センター試験数２Ｂより
第３問
数列{ａn}は、初項ａ1が０であり、ｎ＝１，２，３，…のとき次の漸化式を
満たすものとする。
ａn+1＝{(ｎ＋３)／(ｎ＋１)}{３ａn＋３^(n+1)－(ｎ＋１)(ｎ＋２)}……{1}
(1) ａ2＝[ア]である。
(2) ｂn＝ａn／{３^n・(ｎ＋１)(ｎ＋２)}とおき、数列{ｂn}の一般項を求めよう。
{ｂn}の初項ｂ1は[イ]である。{1}の両辺を３^(n+1)・(ｎ＋２)(ｎ＋３)で割ると
ｂn+1＝ｂn＋[ウ]／{(ｎ＋[エ])(ｎ＋[オ])}－(１／[カ])^(n+1)
を得る。ただし[エ]＜[オ]とする。
したがって
ｂn+1－ｂn＝[キ]／(ｎ＋[エ])－[キ]／(ｎ＋[カ])－(１／[カ])^(n+1)
である。
ｎを２以上の自然数とするとき
Σ[k=1～n-1]{[キ]／(ｋ＋[エ])－[キ]／(ｋ＋[オ])}
＝(１／[ク]){(ｎ－[ケ])／(ｎ＋[コ])}
Σ[k=1～n-1](１／[カ])^(k+1)
＝[サ]／[シ]－([ス]／[セ])(１／[カ])^n
が成り立つことを利用すると
ｂn＝(ｎ－[ソ])／{[タ](ｎ＋[チ])}＋([ス]／[セ])(１／[カ])^n
が得られる。これはｎ＝１のときも成り立つ。
(3) (2)により、{ａn}の一般項は
ａn＝[ツ]^(n-[テ])・(ｎ^2－[ト])＋{(ｎ＋[ナ])(ｎ＋[ニ])}／[ヌ]
で与えられる。ただし、[ナ]＜[ニ]とする。
このことから、すべての自然数ｎについて、ａnは整数となることがわかる。
(4) ｋを自然数とする。ａ3k，ａ3k+1，ａ3k+2を３で割った余りはそれぞれ[ネ]，
[ノ]，[ハ]である。また、{ａn}の初項から第2020項までの和を３で割った余りは
[ヒ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
一般項ｎ^2の初項から第ｎ項までの数列の和はΣ[k=1～n]ｋ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説
次は(2)です。
まずは
ｂn＝ａn／{３^n・(ｎ＋１)(ｎ＋２)}
とおいています。
この{ｂn}の初項ｂ1を求めます。
ｂ1はもちろん、ｂnにｎ＝１を代入した場合ですね。やってみましょう！
ｂ1＝ａ1／{３^1・(１＋１)(１＋２)}
問題文から「ａ1＝０」であるので、ｂ1は分子がゼロだから、
ｂ1＝０
となります。
よって、[イ]＝０
つづく
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