2017年大学入試センター試験数学2B第3問 ④[キ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第3問の[キ]までを解説します。

2017年2B第3問ここまでの記事→①基本的な用語・公式②[イ]まで③[ウ]まで


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第3問

 以下において考察する数列の項は、すべて実数であるとする。

(1) 等比数列{sn}の初項が1,公比が2であるとき

  s1s2s3=[ア],s1+s2+s3=[イ]

である。

(2) {sn}を初項x,公比rの等比数列とする。a,bを実数(ただしa≠0)とし、
{sn}の最初の3項が

  s1s2s3=a^3  ……{1}
  s1+s2+s3=b  ……{2}

を満たすとする。このとき

  xr=[ウ]  ……{3}

である。さらに、{2},{3}を用いて、r,a,bの満たす関係式を求めると

  [エ]r^2+([オ]-[カ])r+[キ]=0 ……{4}

を得る。{4}を満たす実数rが存在するので

  [ク]a^2+[ケ]ab-b^2≦0 ……{5}

である。
 逆に、a,bが{5}を満たすとき、{3},{4}を用いて、r,xの値を求めることができる。

(3) a=64,b=336のとき、(2)の条件{1},{2}を満たし、公比が1より大きい等比数列{sn}を考える。{3},{4}を用いて{sn}の公比rと初項xを求めると、r=[コ],x=[サシ]である。

 {sn}を用いて、数列{tn}を

  tn=sn・log[コ]sn (n=1,2,3,…)

と定める。このとき、{tn}の一般項はtn=(n+[ス])・[コ]^(n+[セ])である。
{tn}の初項から第n項までの和Unは、Un-[コ]Unを計算することにより

  Un={([ソ]n+[タ])/[チ]}・[コ]^(n+[ツ])-[テト]/[ナ]

であることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

そして次は{2}と{3}の式を用いて、r,a,bの関係式を作りたいようです。

x+xr+xr^2=b ……{2}
xr=a ……{3}

目標の形は、

  [エ]r^2+([オ]-[カ])r+[キ]=0 ……{4}

なので、とりあえずxを消す方向で考えてみましょう。

{3}より、x=a/rとなり、これを{2}に代入すると、

a/r+(a/r)r+(a/r)r^2=b
        a+ar+ar^2=br   ←両辺にrを掛けた
     ar^2+ar-br+a=0    ←移行してrについて整理した
     ar^2+(a-b)r+a=0

これでちょうどいい形になりましたね!

よって、[エ]=a,[オ]=a,[カ]=b,[キ]=a


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